高中数学技巧大全答案及详解
第1章函数与导数
第1节一次型分式函数的图象性质
典型例题
【例1】5
解析:fx图象的两条渐近线分别为x=1和y
据此可作出fx
由图可知fx在[2,3]
故fx在[2,
【变式】1
解析:设t=sinx,则?1
函数y=4+3t2
且过点0,2,所以其大致图象如图所示,由图可知y=4+
故ymax=7,y
【例2】B
解法1:A项,fx
B项,fx?1
C项,fx+1
D项,fx+1
解法2:由题意,fx的图象的对称中心为?
得到的图象关于就原点对称,恰好为奇函数,即fx
【例3】-1
解析:由题意,函数fx=x
因为fx的图象关于直线y=x对称,所以点A
从而12=?m
【例4】?∞,
解析:由题意,fx的图象的两条渐近线分别为x=a和y=1,如图,要使fx在1,+∞上↗,首先应有a≤1,其次,
解析:fx图象的两条渐近线分别为x=?52和
据此可作出fx
由图可知fx在[?2,0]
2.1
解析:设t=sinx,则?1
函数y=2?t2t
且过点0,
由图可知函数y=2?t2t
从而ymax=2??
3.?∞,?
解析:显然y=log3x?
由题意,fx=2x+k
函数fx=2x+k
由图可知应有f3=6
4.C
解析:设fx=x+cx+1,则函数
所以y=fx的大致图象有三种可能,如图,若为图1,则c1,此时f
因为an=fn,所以
若为图2,则c1,此时fx在?1,+∞上↘
若为图3,则c=1,所以fx=1
综上所述,an与an+
图1
图2
图3
5.C
解析:画出函数y=
函数y=gx的图象的两条渐近线分别为x
且过点D?
由图可知两个函数的图象在[?7
分别为图中的A、
其中A和F、B和E、C和
所以这六个点的横坐标之和为?4
但fx的图象上不包括点D,且点D
故两个函数图象交点的横坐标之和为?12
即方程fx=g
第2节二次型分式函数求最值
典型例题
【例题】3
解法1(均值不等式法):令t=x?
所以y=
当且仅当t=1t,即t=1
解法2(判别式法):将y=x2?x
将式(1)看成关于x的一元二次方程,其判别式Δ=y+12
因为x1,所以x?1
注意到当x=2时,y=
解法3(求导法):设fx=x2?
fx0?1x2,从而fx
【变式1】1
解法1(均值不等式法):令t=x?
所以y=
当且仅当t=1t,即t=1时取等号,此时x
解法2(判别式法):将y=x?1x
当y≠0时,把(1)看成关于x的一元二次方程,其判别式Δ=?y+12?4yy+1≥0,解得:?
fx0?x2,从而fx在1
【变式2】2
解法1(均值不等式法):由题意,y=
令t=x?1,则
当且仅当t=1t,即t=1时取等号,此时x
解法2(判别式法):将y=x2
整理得:y?1x2+
其判别式Δ=2?
注意到当x=2时,y=23
解法3(求导法):设fx=x2?
fx0?1x2,从而fx
【反思】从上面的几个例子可以看到,y=
【变式3】1
解析:设t=x2+1
当且仅当t=4t,即t=2时取等号,此时x
【变式4】2
解析:设t=x2+4
易得函数φt=t+1t在[2,+∞)上
1.1
解法1(均值不等式法):设t=x?
且y=
当且仅当t=1t,即t=1
解法2(判别式法):将y=x2x?
将式(1)看成关于x的一元二次方程,则其判别式Δ=y2?4y
因为x1,所以y0,从而y≥4,注意到当
解法3(求导法):设fx=x2x
从而fx在1,2上↘,在2,+∞上
2.4
解法1(均值不等式法):设t=x+1,则x=
且y=
当且仅当t=4t,即t=2时取等号,此时x
解法2(判别式法):将y=x2?x
将式(1)看成关于x的一元二次方程,则其判别式Δ=y+12
因为0≤x≤4,所以x+
注意到当x=1时,y=1,所以函数
解法3(求导法):设fx=x2?
fx0?0≤x
3.1
解法1(均值不等式法):由题意,y=
当x=0时,y=1;当x≠0时,
所以