第讲空间向量的应用（一）：直线、平面的位置关系
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目录
第05讲空间向量的应用（一）：直线、平面的位置关系1
一、空间中点、直线和平面的向量表示2
基础知识2
考点1法向量2
二、由空间向量研究直线、平面的平行关系4
基础知识4
考点2证明线线平行4
考点3证明线面平行5
考点4证明面面平行7
三、由空间向量研究直线、平面的垂直关系9
基础知识9
考点5证明线线垂直9
考点6证明线面垂直11
考点7证明面面垂直12
四、课后作业14
单选题14
多选题15
填空题15
解答题16
一、空间中点、直线和平面的向量表示
基础知识
1．空间中点、直线和平面的向量表示
(1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向
→→
量OP来表示．我们把向量OP称为点P的位置向量．
(2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得
→→→→→→
到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta①，把AB＝a代入①式得OP＝OA＋tAB②，
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
(3)平面的法向量定义：
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点
A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线
的方向向量，可求出该平面的一个法向量.
考点1法向量
【例1.1】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知点1,0,0,0,2,0,0,0,3，则下列向量可作为平面
的一个法向量的是（）
A．1,2,3B．3,2,1C．2,3,6D．6,3,2
【例1.2】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系?，?1,0,0，1,2,?2，2,3,?2，
则平面的一个法向量为（）
A．1,?1,0B．1,?1,1C．1,0,?1D．0,1,1
【变式1.1】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点1,2,3，1,1,0，0,1,1，则下列向量是平面
的法向量的是（）
A．?1,3,?1B．?1,?3,?1
C．1,3,1D．?1,3,1
=(1,1,1)=(0,2,?1) =+
【变式1.2】（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）已知平面α内两向量，且
+(4,?4,1)
.若为平面α的法向量，则m，n的值分别为（）
A．-1，2B．1，-2
C．1，2