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文档摘要

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第讲空间向量的数量积运算

02

目录

第02讲空间向量的数量积运算1

一、空间向量的夹角与数量积2

基础知识2

考点1计算空间向量数量积3

考点2计算空间向量的夹角3

考点3由空间向量的数量积求模4

考点4向量垂直的应用5

二、向量的投影6

基础知识6

考点5求解投影向量6

考点6向量数量积的应用7

三、课后作业9

单选题9

多选题10

填空题11

解答题11

一、空间向量的夹角与数量积

基础知识

1．空间向量的夹角

→→

(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，

记作〈a，b〉．

(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.

π

特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.

2

2．空间向量的数量积

已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

定义即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

①a⊥b?a·b＝0

性质

22

②a·a＝a＝|a|

①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.

运算律②a·b＝b·a(交换律)．

③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).

3．空间向量夹角的计算

求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．

4．空间向量数量积的计算

求空间向量数量积的步骤：

(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．

(3)代入求解．

考点1计算空间向量数量积

120°=2=5(2??

【例1.1】（23-24高二上·天津静海·阶段练习）已知向量和的夹角为，且，，则

=（）

A．12B．8+13C．4D．13

??

【例1.2】（23-24高二上·山东威海·阶段练习）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则