第讲直线和圆锥曲线的位置关系
16
目录
第16讲直线和圆锥曲线的位置关系1
一、直线与椭圆的位置关系2
基础知识2
考点1判断直线与椭圆的位置关系4
考点2椭圆的弦长4
考点3椭圆的“中点弦”5
二、直线与双曲线的位置关系6
基础知识6
考点4判断直线与双曲线的位置关系7
考点5双曲线的弦长8
考点6双曲线的“中点弦”8
三、直线与抛物线的位置关系10
基础知识10
考点7判断直线与抛物线的位置关系11
考点8抛物线的弦长11
考点9抛物线的焦点弦12
考点10圆锥曲线中的三角形面积13
考点11圆锥曲线中的定点、定值、定直线13
四、课后作业15
单选题15
多选题16
填空题16
解答题16
一、直线与椭圆的位置关系
基础知识
1．点与椭圆的位置关系
(1)点与椭圆的位置：
(2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：
点在椭圆外+1;
点在椭圆内+1;
点在椭圆上+1.
2．直线与椭圆的位置关系
(1)直线与椭圆的三种位置关系
类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.
(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：
0直线与椭圆相交有两个公共点;
0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;
0直线与椭圆相离无公共点.
3．弦长问题
(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.
(2)弦长公式：设直线l:ykx+m交椭圆+1(ab0)于，两点，
则或.
4．“中点弦问题”
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根
与系数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系.
设，，代入椭圆方程+1(ab0)，
得，
①-②可得+0，
设线段AB的中点为，当时，有+0.
因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦
中点轨迹问题的常用方法.
(2)弦的中点与直线的斜率的关系
线段AB是椭圆+1(ab0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标
为，则弦AB所在直线的斜率为，即.
考点1判断直线与椭圆的位置关系
22
【例1.1】（23-24高二上·山东济南·期中）直线l：2+1++1?7?4=0与椭圆C