第讲直线与圆、圆与圆的位置关系
12
目录
第12讲直线与圆、圆与圆的位置关系1
一、直线与圆的位置关系2
基础知识2
考点1直线与圆的位置关系5
考点2求解圆的切线问题及切线方程5
考点3圆的弦长6
考点4直线与部分圆的相交6
考点5直线与圆有关的最值7
二、圆与圆的位置关系9
基础知识9
考点6圆与圆的位置关系12
考点7由圆与圆的位置关系确定参数12
考点8两圆相切13
考点9两圆的公共弦13
考点10直线与圆、圆与圆的位置关系的应用14
三、课后作业16
单选题16
多选题17
填空题17
解答题17
一、直线与圆的位置关系
基础知识
1．直线与圆的位置关系及判定方法
(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：
位置相交相切相离
交点个数两个一个零个
图形
d与r的关系drdrdr
方程组有两组不
仅有一组解无解
解的情况同的解
(2)直线与圆的位置关系的判定方法
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的
实数解，即0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即0，则直线与圆相切；若无实数解，即
0，则直线与圆相离.
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相交；当dr时，直线与圆
相切；当dr时，直线与圆相离.
2．圆的切线及切线方程
(1)自一点引圆的切线的条数：
①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
(2)求过圆上的一点的圆的切线方程：
①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求
得切线方程.如果k0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
②重要结论：
a.经过圆上一点P的切线方程为.
b.经过圆上一点P的切线方程为.
c.经过圆+Dx+Ey+F0上一点P的切线方程为
.
3．圆的弦长问题
设直线l的方程为ykx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或
叫作弦长公式.
4．解与圆有关的最值问题
(1)利用圆的几何性质求最值的问题
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.
①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为ADr+d.其中r为圆的半径，d
为圆心到