【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题1共顶点模型
经典例题
经典例题
【例1】把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是，AE与BC的位置关系是．
（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．
【例2】已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，，连接．
（1）发现问题：如图①，当点在边上时，
①请写出和之间的数量关系________，位置关系________；
②线段、、之间的关系是_________；
（2）尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，则线段的长为________．
【例3】有如下一道作业题：
如图1，四边形ABCD是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CEF，DF．
求证：△BCE≌△DCF．
（1）请你完成这道题的证明：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点N是边CD上一点，CM＝CN，连接DM，连接FC．
①求证：∠BFC＝45°．【公众号：自我提升之家-分享】
②把FC绕点F逆时针旋转90°得到FP，连接CP（如图3）．求证：BF＝CP+DF．
【例4】已知等边，为边中点，为边上一点（不与A，重合），连接．
（1）如图1，点是边的中点，当在线段上（不与A，重合）时，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．
①依题意补全图1；【公众号：自我提升之家-分享】
②此时与的数量关系为：，=°．
（2）如图2，若，在边上有一点，使得．直接用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【例5】如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，点M，F分别为边AB，AC的中点，点D在边AC上，且CD＝2AD，点N为CD的中点，过点D作DE∥AB交BC于点E，点G为DE的中点．将△DCE绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接MG，FN．
（1）问题发现
当α＝0°时，FNGM=32；直线MG与直线FN相交所成的较小夹角的度数为
（2）类比探究
当0°＜α＜360°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用
若AB＝4，直线MG和直线FN交于点O，在旋转的过程中，当点O与点N重合时，请直接写出线段FN的长．
培优训练
培优训练
1．和都是等腰直角三角形，，将绕点D旋转．
（1）如图1，当点B落在直线上时，若，，求的长；
（2）如图2，直线、交于点F，再连接，求证：；
（3）如图3，，，G为中点，连接，，以直角边构造等腰，过H作交于点I，连接，当最小时，直接写出的长度．
2．在ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D在线段BC上：
①如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝°；
②如果∠BAC＝100°，则∠BCE＝°；
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．
3．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点
（观察猜想）
（1）线段DE与AM之间的数量关系是，位置关系是；
（探究证明）【公众号：自我提升之家-分享】
（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．
(3)若正方形ABCD的边长为4，将其沿EF翻折，点D的对应点G恰好落在BC边上，直接写出DG+DH的最小值
4．（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合）．连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是，位置关系是；
（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD、CD、DE之间满足