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广东省珠海市实验中学、河源高级中学、中山市实验中学、惠州市博罗中学、珠海市鸿鹤中学2024-2025学年高二下学期联考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列，则是这个数列的（?????）
A．第17项 B．第18项 C．第19项 D．第20项
2．数列满足，则（????）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．已知等差数列的前项和为，且，则（????）
A．52 B．104 C．112 D．120
4．已知数列的前项和为且，则（???）
A． B． C． D．
5．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（???）
A． B． C． D．
6．已知函数的导函数为的图象如图所示，则（????）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（???）
A． B． C． D．
8．对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的，若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，则下列说法不正确的是（）
A．若，则数列是无界的
B．若，则数列是有界的
C．若，则数列是有界的
D．若，则数列是有界的
二、多选题
9．下列命题正确的有（???）
A．已知函数在上可导，若，则
B．已知函数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
10．设等差数列的公差为，前项和.若，，则下列结论正确的是（????）
A．数列是递增数列 B．
C． D．中最大的是
11．函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（????）
A．函数在处有极小值 B．函数在处有极小值
C．函数在区间内有个极值点 D．导函数在处有极大值
三、填空题
12．已知数列的前n项和为，那么该数列的通项公式为.
13．已知在等比数列中，首项，公比，，是函数的两个极值点，则数列的前9项和是.
14．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是．
四、解答题
15．已知数列的前项和为，对一切正整数，点在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
16．设数列的前项和为，已知，且为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前项和.
17．已知函数.
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若在上有解，求的取值范围；
(3)设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值.
18．数列满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．
19．阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰伯努利（JohannBernoulli，1667~1748）的儿子丹尼尔伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封.他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler，1707~1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中.
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出、、的值；
(2)写出的泰勒展开式（至少有项）；
(3)设，，，证明：.
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《广东省珠海市实验中学、河源高级中学、中山市实验中学、惠州市博罗中学、珠海市鸿鹤中学2024-2025学年高二下学期联考数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
A
A
A
D
A
BD
BCD
题号
11
答案
BD
1．D
【分析】令即可计算求解.
【详解】令.
故由题可得是这个数列的第20项.
故选：D
2．C
【分析】根据递推公式逐一代入计算即可.
【详解】因为：，
所以，
故选：C.
3．A
【分析】根据等差数列求和公式和下标和性质即可得到答案.
【详解】.
故选：A.
4．A
【分析】利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】因为，①
所以，②
①－②得，
所以．
故