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2021年清华大学强基计划测试数学试题评析

2021年6月30日

本篇的所有题目均来源于网络回忆版,仅供内部学习交

流使用.

题1.恰有一个实数x使得x3?ax?1=0成立,求a的取值

范围.

解析1.显然x0.因此条件等价于直线y=a与函数f(x)=

21′1

x?x的图像只有一个交点.求导得f(x)=2x+x2.因此f

√√

在(?∞,?32)上单调递减,在(?32,0)和(0,∞)上单调递增.

计算f(x)在x→0+,0?,∞和?∞的极限后画出大致图像:

y

y=f(x)

x

y=a

于是a的取值范围是(?∞,f(?1)),即(?∞,3).

√√

33

24

1.(

评析分析含参的三次函数图像和零点有点反人类了虽然

这道题这么做还真能出来...),如果遇到更高次的带参函数或

者这道题里面再加上个二次项,那算起来就更麻烦了.所以

可以想到将变量和参数分离开来看,就像上面的答案一样,直

接变成一个分析函数图像的问题,那就是一道纯高中数学的

问题了.

[][][]

题2.[x]为高斯函数,x+x+x=x有几组解?

235

解析2.由于[2,3,5]=30,我们考虑将x按照模30分类.设

x=30a+b,那么

?ò?ò?ò

bbb

30a+b=31a+++

235

即

?ò?ò?ò

bbb

a=b???

235

那么我们将b=0,1,2,...,29代入,可得a,进而可以得到x.

另外,不同的b得到的x在模30下也是不同的,所以b和x

之间有一一对应关系,所以一共可以得到30个x.

评析2.