第1页，共15页，星期日，2025年，2月5日§15.1极值和最小二乘法第2页，共15页，星期日，2025年，2月5日一、极值本节讨论二元函数的极值问题，对于多元情况可类似地讨论.若函数在点的某个领域内成立不等式则称在点取到极大值,点称为函数的极大点;类似地,若在点的某个领域内成立不等式则称在点取到极小值,点称为函数的极小点.第3页，共15页，星期日，2025年，2月5日极大值与极小值统称为极值;极大点与极小点统称为极值点.从定义可见,若在点有一极值,则固定后的一元函数必在点有极值.于是由一元函数在极值点的必要条件,可知有同理可知这就是说,对偏导数存在的函数来说,在点有极值的必要条件是对于可谓函数,也就是第4页，共15页，星期日，2025年，2月5日这个条件并非充分的.例如函数在点此外,函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值.例如由此可见,函数的极值点必为及同时为零或至少有一个偏导数不存在的点.综上所述,要求函数的极值,首先要求出所有使函数的偏导数等于零或偏导数不存在的点,然后根据该点周围函数的变化情形,进一步判定是否有极值,为此我们讨论函数的改变量,若的一切二阶偏导数都连续,则由泰勒公式并注意到在极值点必须就有第5页，共15页，星期日，2025年，2月5日由于的一切二阶偏导数在连续,记那么有第6页，共15页，星期日，2025年，2月5日于是当二次形式不为零时,注意到时,都是无穷小量,所以存在点的一个邻域,使得在这个邻域内,的符号与的符号相同,而当时,的符号便取决于的符号了.对于二次型它的判别式为第7页，共15页，星期日，2025年，2月5日那么有以下结论1、函数有极大值.2、函数有极小值.3、函数无极值.4、需进一步判定.利用代数中关于二次型的理论,很易知道以上结论.这是因为当而时,二次型为负定的,故从而,这表明函数在点第8页，共15页，星期日，2025年，2月5日有极大值;当而时,二次型为正定的,故从而,这表明函数在点有极小值;当时,二次型为不定的,所以可正可负,于是函数在点无极值;当时,二次型在某些值上将等于零,于是的符号就必须进一步判断了.对于实际问题,往往可以根据实际意义来判断函数在某点时否为极值以及时极大值还是极小值.例1讨论函数的极值.第9页，共15页，星期日，2025年，2月5日例2讨论的极值.例3有一块薄铁皮,宽,把两边折起,做成一槽,求和倾角,使槽的梯形截面的面积最大.例4试在轴,轴与直线围成的三角形闭区域上求函数的最大值.二、最小二乘法