第1页，共19页，星期日，2025年，2月5日偏导数偏导数定义计算高阶偏导数几何意义第2页，共19页，星期日，2025年，2月5日在一元微分学中，我们研究过函数的导数，即函数y对于自变量x的变化率：若多元函数的某一个自变量发生变化而其它自变量保持不变，将得到与上式类似的极限，即会产生函数对某一个自变量的变化率.现在我们讨论这种变化率的概念和计算.偏导数第3页，共19页，星期日，2025年，2月5日偏导数的定义第4页，共19页，星期日，2025年，2月5日当函数z=f(x,y)在区域D内每一点都存在对x和y的偏导数时，fx(x,y)和fy(x,y)是D上的两个新的函数，称为f(x,y)对x和y的偏导函数，简称偏导数.分别记为例题第5页，共19页，星期日，2025年，2月5日更多元的函数可以类似地定义偏导数.即对一个自变量求偏导时，只要把其他自变量都当常数就行.一元函数的求导公式和导数运算法则都可用于求多元函数的偏导数.2．偏导数的计算例题第6页，共19页，星期日，2025年，2月5日例题第7页，共19页，星期日，2025年，2月5日例题第8页，共19页，星期日，2025年，2月5日注意由上节例7知上述例5的函数f(x,y)在原点是间断的，由此可以看出偏导数存在时多元函数不一定连续.由对称性知fy(0,0)=0.例题第9页，共19页，星期日，2025年，2月5日偏导数的几何意义第10页，共19页，星期日，2025年，2月5日如前所述，二元函数z=f(x,y)的偏导数fx(x,y)、fy(x,y)仍是x、y的二元函数，它们同样可以对x和y求偏导数.记称为z=f(x,y)的二阶偏导数.其中fxy和fyx称为混合偏导数.注一般地，fxy与fyx不是同一个函数.但可证明如下结论高阶偏导数第11页，共19页，星期日，2025年，2月5日因此例题第12页，共19页，星期日，2025年，2月5日例题第13页，共19页，星期日，2025年，2月5日偏导数的定义对一个自变量求偏导数时，只要把其它的自变量都当常数就行了.因此，一元函数的求导公式与导数运算法则都可用于求多元函数的偏导数.偏导数的计算小结第14页，共19页，星期日，2025年，2月5日