第31页，共45页，星期日，2025年，2月5日所以第32页，共45页，星期日，2025年，2月5日概率论与数理统计估计量的评价标准第1页，共45页，星期日，2025年，2月5日一、问题的提出从前一节可以看到,对于同一个参数,用不同的估计方法求出的估计量可能不同.然而,原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量.问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量优劣的标准是什么?下面介绍几个常用标准.第2页，共45页，星期日，2025年，2月5日下面介绍几个常用标准：1）无偏性；2）有效性；3）最小方差无偏估计4）相合性.第3页，共45页，星期日，2025年，2月5日二、无偏性定义6.2第4页，共45页，星期日，2025年，2月5日证例1第5页，共45页，星期日，2025年，2月5日特别地,不论总体X服从什么分布,只要它的数学期望存在,第6页，共45页，星期日，2025年，2月5日证例2第7页，共45页，星期日，2025年，2月5日第8页，共45页，星期日，2025年，2月5日分析例3设总体X的方差D(X)存在，且D(X)0,(X1,X2,···,Xn)为来自总体X的样本，试选择适当的常数C，使得为D(X)的无偏估计.需选择C，使第9页，共45页，星期日，2025年，2月5日而X1,X2,···,Xn相互独立，且与X同分布解第10页，共45页，星期日，2025年，2月5日依题意，要求：第11页，共45页，星期日，2025年，2月5日注一般地，一个参数?的无偏估计量不唯一.如：设样本(X1,X2,···,Xn)来自总体X，E(X)=?,也均是?的无偏估计.问题：对于同一个参数的多个无偏估计量，如何评价它们的优劣？第12页，共45页，星期日，2025年，2月5日三、有效性换句话说，的波动越小，即方差越小越好.第13页，共45页，星期日，2025年，2月5日定义6.3例4来自总体X的样本，问：下列三个对?的无偏估计量哪一个最有效？第14页，共45页，星期日，2025年，2月5日解注一般地，在?的无偏估计量可用求条件极值的拉格朗日乘数法证明第15页，共45页，星期日，2025年，2月5日(1)证例5第16页，共45页，星期日，2025年，2月5日第17页，共45页，星期日，2025年，2月5日第18页，共45页，星期日，2025年，2月5日解第19页，共45页，星期日，2025年，2月5日第20页，共45页，星期日，2025年，2月5日背景随机抄n个自行车的号码，由这n个号码来估计某市市区的自行车总数N.如：样本值100,1000,10000,100000,1000000.可算得：第21页，共45页，星期日，2025年，2月5日四、最小方差无偏估计量定义注最小方差无偏估计是一种最优估计.问题：无偏估计的方差是否可以任意小?如果不能任意小,那么它的下界是什么?第22页，共45页，星期日，2025年，2月5日定理*6.1(Rao-Cramer不等式)设?是实数轴上的一个开区间,总体X的分布密度为p(x;?),???,是来自总体X的一个样本,是参数?的一个无偏估计量,且满足条件:第23页，共45页，星期日，2025年，2月5日第24页，共45页，星期日，2025年，2月5日上不等式的右端称为罗-克拉美下界,I(?)称为Fisher信息量.注(1)I(?)的另一表达式为(2)定理6.1对离散型总体也适用.由此,根据定理6.1求证的步骤为是?的最小方差无偏估计根据定理6.1,若参数?的无偏估计量的方差达到下界,则必为?的最小方差无偏估计.第25页，共45页，星期日，2025年，2月5日第26页，共45页，星期日，2025年，2月5日第27页，共45页，星期日，2025年，2月5日第28页，共45页，星期日，2025年，2月5日3.有效估计定义6.4定义6.5第29页，共45页，星期日，2025年，2月5日说明(2)求有效估计的方法和求MVUE的方法完全一样.第30页，共45页，星期日，2025年，2月5日