第1页，共33页，星期日，2025年，2月5日第一节唯一性定理一、边值问题存在边界面的电磁问题。根据给定边界条件对边值问题分类：第一类边值问题：已知整个边界面上的电位函数分布值。第二类边值问题：已知在整个边界面上的电位函数法向导数。第2页，共33页，星期日，2025年，2月5日第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界面上的电位函数值，和另一部分边界面上电位函数的法向导数。二、唯一性定理唯一性定理内容：在场域V的边界面S上给定电位或者的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解唯一。（或者：在边界条件确定的情况下，泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解都是唯一的）第3页，共33页，星期日，2025年，2月5日唯一性定理的意义：1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依据。第4页，共33页，星期日，2025年，2月5日第二节直角坐标系中的分离变量法分离变量法：根据边界面的形状，选择合适的坐标系，假定待求的位函数可表示为三个函数的乘积，且其中每个函数分别仅是一个坐标的函数，将这个函数代入拉普拉斯方程，通过分离变量将原来的偏微分方程化为常微分方程。直角坐标中，拉普拉斯方程为：设可用三个函数的乘积表示：则：第5页，共33页，星期日，2025年，2月5日除以得：上式成立的条件是三项中每项都为常数，即：则：为待定常数通过引入分离常数k，将拉普拉斯方程分解为齐次常微分方程。分别解常微分方程就可以得出原问题的解。第6页，共33页，星期日，2025年，2月5日1）当时，解为线性函数2）当为实数（即）时，解为三角函数形式3）当为虚数（即）时，解为双曲函数或实函数的指数函数由边界条件定出常数和解的形式常微分方程的解为：（k取值不同解形式不同）：第7页，共33页，星期日，2025年，2月5日导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程，即例：如图所示无限长金属导体槽，其顶面电位为u，其余三面接地，求导体槽内电位分布。解：满足的边界条件为：设：无限长导体槽，故电位与无关第8页，共33页，星期日，2025年，2月5日由于拉普拉斯方程是线性方程，因此方程的特解的线性组合仍然是方程的解。的一般解为：第9页，共33页，星期日，2025年，2月5日的解一般形式为：代入上式：第10页，共33页，星期日，2025年，2月5日等式两边同乘以，并对求积分：根据三角函数的正交性，等式右边当时为0：当时：所以，接地导体槽内部电位分布为第11页，共33页，星期日，2025年，2月5日例题二：如图所示，水平放置的两块半无穷大金属块接地，铅直放置的金属板与它们绝缘，并保持电势U。求三块板之间的电势分布。解：这是一个二维场求解的问题，与坐标Z无关。设：边界条件为：由条件1）、2）可得：第12页，共33页，星期日，2025年，2月5日的一般解为：的解一般形式为：第13页，共33页，星期日，2025年，2月5日代入条件4）得：等式两边同乘以，并对求积分：等式右边只有当时，不为0的表达式为：第14页，共33页，星期日，2025年，2月5日第三节镜像法镜像法基本思路：在所研究的场域外的某些适当位置，用一些虚拟电荷等效替代导体分界面上的感应电荷或媒质分界面上的极化电荷的影响。镜像法理论依据：唯一性定理。等效电荷一般位于原电荷关于边界面的镜像点处，故称为镜像电荷。镜像电荷位置选择原则：1、镜像电荷必须位于求解区域以外的空间。2、镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件。第15页，共33页，星期日，2025年，2月5日一、平面接地导体边界1、点电荷对无限大接地导体平面边界的镜像原问题：无限大接地导体平面（z=0）,点电荷q：z=h求空间中电位分布。等效问题：要求：与原问题边界条件相同原电荷：q:z=h镜像电荷(等效电荷):-q-z=-h取消导体边界面，z0空