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公式定理海伦公式与秦九韶公式

海伦公式是古希腊数学家阿基米德在公元前三世纪提出的，而南宋数学家秦

【地位作用】

九韶也在十三世纪证明了可以和海伦公式互推的秦九韶公式．他们所做出的这些贡献，极大

简化了人们对已知三角形的三边求三角形面积问题的过程．

a+b+c

已知在任意?ABC中，设，，分别为角，，的对边，且p，

【内容展示】abcABC

2

则?ABC的面积为S?ABCp(p=?a)(p?b)(p?c)．

【证明过程】

1212221222

由三角形的面积公式S2absinC可得，S4absinC4ab(1=?cosC)

2

122??=?(a2+b2?c2)??

ab?122?①

44ab

??

1?22222?1222222

(2ab)=?a+b?c2ab=?a?b+c2ab+a+b?c

16??()??16()()

1

(a=+b+c)(a+b?c)(c+a?b)(c?a+b)p(p=?a)(p?b)(p?c)，

16

开方后可证得海伦公式．

①?ABCabcAB

说明上述式开方后即可得秦九韶公式：已知在任意中，，，分别为角，，

2

?222?

+?

122abc

C的对边，则?ABC的面积为S△ABCab=???．

2?2?

【内涵外延】

适用范围的拓展

由于任何n(n-2)

边的多边形都可以分割成个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的

.

公式例如在测量土地的面积时，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地

ac

.b

导出答案此外，还有海伦公式的推广，对于