高级中学名校试卷
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陕西省部分学校2024-2025学年高一上学期1月
期末考试检测数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1.是（）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
【答案】C
【解析】依题意，，由于，位于第三象限，
所以是第三象限角．
故选：C．
2.已知集合，，则集合的子集个数为（）
A.4 B.8 C.10 D.16
【答案】D
【解析】由题意，，故其子集的个数为.
故选：D
3.已知，则（）
A. B. C.1 D.7
【答案】B
【解析】由题意，得，则，
故.
故选：B.
4.已知函数，则（）
A.在区间上单调递增 B.在区间上单调递
C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减
【答案】D
【解析】
，
对于AB，当时，，而正弦函数在上先递增后递减，
因此函数在区间上不单调，AB错误；
对于CD，当时，，而正弦函数在上单调递减，
因此在区间上单调递减，C错误，D正确.
故选：D.
5.若，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
由是减函数得，即，
因为，所以，所以．
故选：B．
6.如图是杭州第19届亚运会的会徽“潮涌”，将其视为一扇面，若的长为的长为，则扇面的面积为（）
A.190 B.192 C.380 D.384
【答案】D
【解析】如图，设，由题意可知解得，扇面的面积为.
故选：D.
7.已知某种蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为（）
A.小时 B.小时 C.小时 D.小时
【答案】C
【解析】由题意得：，两式相除得，
则．
即该品种蔬菜的保鲜时间大约为小时.
故选：C.
8.当时，函数的零点个数为（）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】A
【解析】由，得，
在同一坐标系内作出，，的图象，
由图知，两函数的图象的交点有4个，
所以当时，函数的零点个数为4.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知角和的终边关于轴对称，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为角和的终边关于x轴对称，可得.
对于A，由，A正确；
对于B，由，B错误；
对于C，由，C正确；
对于D，由，D错误.
故选：AC.
10.若，且，则下列不等式恒成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A，因为，，
所以，得，
则，
当且仅当，即时取等号，所以，故A正确；
对于B，由及，
得，
解得，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，故C错误；
对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：AD.
11.已知函数满足，则（）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，
，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，，
，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则_____．
【答案】
【解析】由三角函数的定义可知，，
所以，解得.
13.______.
【答案】
【解析】由题意得，
，
∵，∴，
解得或（舍去）.
14.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】由二次函数，一次函数，分段函数的单调性可知，解得，
故实数的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知集合，．
（1）若成立一个必要条件是，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）因为集合，．
若成立的一个必要条件是，所以，则，所以，
故实数的取值范围.
（2）若，则或，所以或，
故实数的取值范围.
16.已知.
（1）化简；
（2）若均为锐角，，求的值.
解：（1）原式.
（2）由（1）得，所以，
因为均为锐角，所以，
又，所以，
由，得，
所以
，
又为锐角，故.
17.已知幂函数的图象过点．
（1）求实数的值；
（2）设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增．
解：（1）由是幂函数，得，解得，
当时，的图象不过点，不满足题意；
当时