高级中学名校试卷
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山西省吕梁市2024-2025学年高一上学期期末数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由.
故选：B.
2.命题“”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为.
故选：A.
3.一个扇形的圆心的为，弧长为，则其面积是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设扇形的半径为，则由弧长公式得，解得，
所以扇形的面积是.
故选：D.
4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以关于的一元二次方程的两个根分别为，2，
由根与系数的关系可得，解得，所以.
故选：B.
5.已知，则大小关系是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，，
即，，
故.
故选：C.
6.已知，则（）
A. B. C.1 D.
【答案】A
【解析】原式，
因为，则，
所以上式.
故选：A.
7.已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误；
因为且，所以为增函数，
当时，为增函数，此时的零点，故A错误；
当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误.
故选：C.
8.已知函数在区间上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，是增函数，
又因为，由函数零点存在定理知，
存在，使得.
当时，由得，解得且.
综上，要使函数在区间上有且仅有4个零点，则零点为，
所以，得.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列运算正确的有（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：AC.
10.已知，且，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】因为，所以，
即，得（当且仅当时，等号成立），故A正确；
当时，满足，此时，故B错误；
（当且仅当时，等号成立），故C错误；
由得，
所以
（当且仅当时，等号成立），故D正确.
故选：AD.
11.已知，则（）
A.的定义域为
B.的图象关于点对称
C.的图象关于直线对称
D.在区间上单调递减
【答案】BCD
【解析】要使有意义，则且有意义，所以且，故A错误；
因为，故B正确；
，故C正埆；
设，且，
则
，
因为，且，所以，
得，即，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则__________.
【答案】
【解析】当时，，所以，
因为为奇函数，所以.
13.已知函数，若，且，则__________.
【答案】
【解析】令，则，函数在上单调递增，
不妨设，由可得，
去绝对值化简得，故，所以.
14.午夜零时时针和分针重合，则午夜零时后，时针和分针第1次重合所需时间为__________小时，第3次重合时时针所转的角度为__________.
【答案】
【解析】设从午夜零时起，分针走了小时后与时针重合，
分针的角速度为，时针的角速度为，
则，得.
当时，，
当时，，这时时针所转的角度为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知角是第三象限角，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若，求的值.
解：（1）由得，
则，
所以.
又因为角是第三象限角，则，，
所以，所以.
（2）由（1）可得解得，所以.
（3），
所以.
16.已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数单调性，并用定义证明；
（3）解不等式.
解：（1）要使函数有意义，则且，即，
所以函数定义域为.
（2）是减函数.证明如下：
设，且，
则
.
因为，所以，所以.
所以，即.
所以是减函数.
（3）函数的定义域为，
要有意义，则，即，
要有意义，则.
因为是减函数，
由，得，
即，解得或.
综上得或.
所以不等式的解集为或.
17.山西某村为富硒土壤，且气候适宜，非常适合种植樱桃.近年来，为全面推