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2021-2022年秋季学期泛函分析期末考试试卷(A)

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任课教师：学号：姓名：成绩：

得分一、(15分)设A,A是赋范空间X中的子集.如果A是紧集,A是闭集且A∩A=?.证明:存在r0,

121212

使得

(A1+U(0,r))∩A2=?,

其中U(0,r)={x∈X:∥x∥r}.

得分sr

二、(15分)当1rs∞时,有L[a,b]?L[a,b].

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得分三、(15分)设A是赋范空间X的子集.证明:A在X中是有界集当且仅,当对任意的x?∈X?,集合x?(A)≡

{x?(z):z∈A}是有界集.

得分四、(15分)设∥·∥是C[0,1]中的完备范数使得:当lim∥xn?x0∥=0时,对任意的t∈[0,1],都有limxn(t)=

n→∞n→∞

x(t).证明:∥·∥等价于上确界范数∥·∥,也即是:存在常数C,C0使得

0∞12

C1∥x∥∞≤∥x∥≤C2∥x∥∞,?x∈C[0,1].

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得分五、(15分)设(X,∥·∥)是赋范空间,对任意的x,y∈X,令

ρ(x,y)=0如果x=y,.

∥x?y∥+1如果x=?y.

证明:ρ是X上的一个距离,但不能由范数诱导.

得分六、(15分)设X是赋范空间,X是X