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2023–2024学年第1学期抽象代数I课程期末考试试卷

参考解答

一,判断下列论断是否正确,若正确,给出简要证明,否则举反例说明.

1.若群的子群和满足?且?,则有?.

2.有理数加法群Q不是循环群.

3.若群为两个有限阶元生成,则为有限群.

4.若群为无限群,则作用在任意一个无限集上的轨道个数都是无限的.

5.记为一个群.记其中心为

():={∈|?∈,=}.

若/()为一个循环群,则为一个交换群.

解.1.错误.反例:令=,={,(12)(34),(13)(24),(14)(23)},={,(12)(34)},则有

4

?且?.

注意到(12)(34)的共轭类为中的非幺元构成的集合,因此不是的正规子群.

2.正确.任取Q的元/(∈Z,∈N*且gcd(,)=1),我们有

??{??}?

?

=?∈Z,

?

则

1

∈/??.

+1

(否则有(+1)=,注意到若=?0,我们有|(+1)|||.若=0,则=0,均矛盾.

因此该等式不成立.)

3.错误.反例:我们取SL(2,R)中两个元

[?]?[?]?

0?112

=,=

10?1?1

则有

[?]?

11

=

12

注意到|tr|=32,且det=1,因此有两个不同的互为倒数的特征根,所以为无限阶.

4.错误.反例:考虑R在R上的作用:

Φ:R×R→R

(,)?→+

是可递的.因此只有一个轨道.(群的左平移作用是可递的)

5.正确.由于/