第十六讲锐角三角函数
古希腊数学家和古代中华人民共和国数学家为了测量需要,她们发现并常常运用下列几何结论：在两个大小不一样直角三角形中,只要有一种锐角相等，那么这两个三角形对应边比值一定相等．正是古人对天文观测和测量需要才引起人们对三角函数研究，１７４8年通过瑞士著名数学家欧拉应用，才逐渐形成目前sin、cｏs、ｔｇ、ｃtg通用形式.
三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间关系,是数形结合桥梁之一,有如下丰富性质:
１．单调性；
２．互余三角函数间关系;
3．同角三角函数间关系．
平方关系:sin２α＋cos2α=1;
商数关系:ｔｇα=，ctgα=;
倒数关系：tｇαcｔｇα=１.
【例题求解】
【例１】已知在△ABC中,∠Ａ、∠B是锐角，且ｓinA=，ｔａnB=2，ＡB=２9cm,
则Ｓ△ABＣ=．
思绪点拨过C作ＣD⊥AＢ于D,这样由三角函数定义得到线段比，siｎA=,tanB=，设CＤ=5ｍ，AC＝13ｍ，CＤ＝2n,BD=ｎ，解题关键是求出m、n值.
注:设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C对边，R为△ABC外接圆半径，不难证明:与锐角三角函数有关几种重要结论:
（1）S△ABC=；
(2).
【例２】如图，在△ABＣ中.∠ACB=９０°，∠ＡＢＣ＝15°，BC＝1，则ＡＣ=（)
Ａ.Ｂ.Ｃ．0．3Ｄ.
思绪点拨由１５°构造特殊角，用特殊角三角函数促使边角转化．
注:（1)求(已知）非特角三角函数值关是构造出含特殊角直角三角形.
(2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比,有时需通过等比来转换．
【例3】如图,已知△ABC是等腰直角三角形，∠AＣB＝90°,过BC中点Ｄ作DE⊥AＢ于E，连结CE,求sｉn∠AＣE值.
思绪点拨作垂线把∠AＣＥ变成直角三角形一种锐角，将问题转化成求线段比．
【例4】如图，在△ABC中,AD是BC边上高，tanＢ＝ｃoｓ∠DAC，
(1）求证：AC=BD；
(2）若ｓinC=，BC=12,求AD长.
思绪点拨(1）把三角函数转化为线段比,运用比例线段证明;
(2)sinC=,引入参数可设ＡD＝１2，AC=１3．
【例5】已知:在Ｒｔ△ＡBＣ中，∠C=90°,ｓｉnA、sinＢ是方程两个根.
(1）求实数、应满足条件;
(２）若、满足(1)条件,方程两个根与否等于Rt△ABC中两锐角Ａ、Ｂ正弦?
思绪点拨由韦达定理、三角函数关系建立、等式，注意鉴别式、三角函数值有界性，建立严密约束条件不等式，才能精确求出实数、应满足条件.
学历训练
1．已知α为锐角，下列结论①ｓｉnα+cｏsα=l；②假如α45°,那么ｓiｎαcosα；③假如cosα＞,那么α60°；④．对的有.
2．如图,在菱形ＡＢCD中，AE⊥ＢＣ于Ｅ，BC＝1，cｏｓＢ,则这个菱形面积为.
3.如图,∠C=90°，∠DBC=30°，AＢ＝ＢＤ,运用此图可求得ｔａn7５°＝.
4．化简
（1)=.
（2)sin2l°＋sin22°+…+sｉn288°+siｎ28９°=.
5．身高相等三名同学甲、乙、丙参与风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直),则三人所放风筝中()
A．甲最高B.丙最高C.乙最低D.丙最低
6．已知sｉｎαcoｓα=，且0°α45°则ｃoα-sinα值为()
A.B．C.Ｄ．
７．如图，在△ABＣ中，∠C=９０°，∠ABＣ＝30°，Ｄ是ＡC中点，则ctg∠ＤＢC值是(）
A.Ｂ．C.D.
8．如图，在等腰Ｒt△ABC