两种视角下探究二项分布概率的最值问题;?;?;?;?;?;[跟进训练]
1．第十四届全国冬季运动会(以下简称冬运)于2024年2月17日至2月27日举行，为进一步增强群众的法治意识，提高群众冬运法律知识水平和文明素质，让法治精神携手冬运走进千家万户，某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬运·法治同行”主题法治宣传教育活动．该活动采取线上、线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬运法律知识普及类趣味答题，线下有“冬运普法”知识讲座，实现“冬运＋普法”的全新模式．其中线上“知识大闯关”答题环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1000名，将他们的作答成绩分成6组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)请估计被抽取的1000名市民作答成绩的平均数和中位数；
(2)视频率为概率，现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机抽取
20名，调查其掌握各类冬运法律知识的情况．记k名市民的成绩在[40，60]
的概率为P(X＝k)，k＝0，1，2，…，20．请估计这20名市民的作答成绩在
[40，60]的人数为多少时P(X＝k)最大？并说明理由．;?;?;?;[典例2](2018·全国Ⅰ卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？;?;名师点评命题者以概率p为自变量，视角新颖，求??该题除了判断分布类型，写分布列外，在解题过程中主要的难点来自用函数的思想来解决问题，应用导数求最大值点．并且在(2)问中要通过计算期望的数值做分析和决策．涉及求值、求值域、求参数的取值范围等问题时，树立函数意识，列出相应的函数解析式，将问题转化为求函数值和函数最值的问题来研究．;[跟进训练]
2．甲、乙两人进行下象棋比赛(没有平局)，采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p，0p1.
(1)设甲以3∶1获胜的概率为f(p)，求f(p)的最大值；
(2)记(1)中，f(p)取得最大值时p的值为p0，以p0作为p的值，用X表示甲、乙两人比赛的局数，求X的分布列和数学期望E(X)．;?;