第三节空间点直线平面之间的位置关系第1页，共32页，星期日，2025年，2月5日平面的性质下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________．(把所有正确命题的序号都写上)第2页，共32页，星期日，2025年，2月5日分析根据公理及推论作判断．第3页，共32页，星期日，2025年，2月5日解①，②中的三点可能共线，故不能确定平面．③中的直线可能交于一点，故不能确定平面．⑤，⑧中的四边形可能为空间四边形．⑥，⑦中的两直线可能异面．应填④.第4页，共32页，星期日，2025年，2月5日规律总结解决此类问题首先要理解平面的基本性质，在判断的过程中若要说明命题不正确，只要举出一个反例即可．若要说明一个命题正确，则要给出证明，即说明问题符合确定平面的公理或判断直线位置关系的条件．第5页，共32页，星期日，2025年，2月5日变式训练1下列命题：①和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】①中的直线可以为异面直线；②中三条直线交于一点时，三条直线可不在同一个平面内；③中，若三点共线，则两平面可以相交；④两两平行的三条直线，可能共面．故正确的个数为0.【答案】A第6页，共32页，星期日，2025年，2月5日如图所示，平面ABD∩平面BCD＝直线BD，M、N、P、Q分别为线段AB、BC、CD、DA上的点，四边形MNPQ是以PN、QM为腰的梯形．求证：三直线BD、MQ、NP共点．共点、共线和共面问题第7页，共32页，星期日，2025年，2月5日分析先证两直线交于一点，再证该点在第三条直线上．第8页，共32页，星期日，2025年，2月5日证明∵四边形MNPQ是梯形，且MQ、NP是腰，∴直线MQ、NP必相交于某一点O.∵O∈直线MQ，直线MQ?平面ABD，∴O∈平面ABD.同理，O∈平面BCD，又∵平面ABD∩平面BCD＝直线BD，∴O∈直线BD，从而三直线BD、MQ、NP共点．第9页，共32页，星期日，2025年，2月5日规律总结由已知条件，直线MQ、NP必相交于一点O，因此，问题转化为求证点O在直线BD上．由公理3，就是要寻找两个平面，使直线BD是这两个平面的交线，同时点O是这两个平面的公共点即可．“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上”的问题．第10页，共32页，星期日，2025年，2月5日变式训练２已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且.求证：三条直线EF、GH、AC交于一点．第11页，共32页，星期日，2025年，2月5日【证明】∵E、H分别是边AB、AD的中点，∴四边形EFGH为梯形，两腰EF、GH必交于一点P.∵P∈直线EF，EF?平面ABC，∴P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，∴P在平面ADC和平面ABC的交线AC上，故三条直线EF、GH、AC交于一点．第12页，共32页，星期日，2025年，2月5日如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．第13页，共32页，星期日，2025年，2月5日分析先由公理确定一个平面，再证E，F，G，H四点为两平面的公共点，则四点共线．第14页，共32页，星期日，2025年，2月5日证明∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β.又∵AB∩α＝E，AB?β，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵不重合的两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线．第15页，共32页，星期日，2025年，2月5日规律总结在立体几何中，证明若干点共线时，常运用公理3，即先证明这些点都是某两平面的公共点，又由于这些点都在两平面的交线上，因此证明点共线．第16页，共32页，星期日，2025年，2月5日变式训练３已知，如图所示，△