高级中学名校试卷
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山西省太原市2024-2025学年高二下学期
期中学业诊断数学试题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.等差数列中，，，则（）
A. B. C.0 D.1
【答案】B
【解析】由等差数列的性质可知：，又，
所以，
故选：B
2.已知函数，则（）
A. B.0 C.1 D.
【答案】C
【解析】由题设，则.
故选：C
3.等比数列中，，，则的前项和（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若数列的公比为，则，故.
故选：D
4.函数的极小值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设，
当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
所以函数的极小值为.
故选：A
5.已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设，若的公比为，则，，
所以，则.
故选：D
6.函数的单调递减区间是（）
A.和 B.和
C. D.
【答案】C
【解析】由题设且，
当，则，在上单调递减，
当，则，在上单调递增，
所以单调递减区间是.
故选：C.
7.已知等差数列的前n项和为，且，是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令的公差为，又，则，
即，由的公差为1，且，
则，
所以，又，故，
所以，则，故，故、，A、B错；
，则、，C对、D错.
故选：C
8.已知是定义在上的函数的导函数，且满足，，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，则，即在R上单调递减，
所以，则，，，，
由，
则，
所以，，，.
故选：D
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知函数，则下列结论正确的是（）
A.在上单调递增 B.的极小值为-4
C.有三个零点 D.的对称中心为（1，-2）
【答案】BD
【解析】由，可得：，
由，可得：或，由，可得，
所以在和单调递增，在单调递减，A错，
在处取到极小值，B对，
在取得极大值，结合单调性可知有两个零点，C错，
又，
所以的对称中心为，D对，
故选：BD
10.已知数列满足，，是的前n项和，则下列结论正确的是（）
A.是等比数列 B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由题设，且，
则是首项、公比均为2的等比数列，
所以，则，故，A对，B错；
由，则，C对；
由，
所以，D对.
故选：ACD
11.已知等比数列中，，，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】令的公比为，则，，故，
所以，令且，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，即，
若时，而，矛盾！所以，
对于且，则，
即在上单调递增，
所以，则在上恒成立，
故，所以，A对；
由且，则，，C、D对；
当，，则，
所以，即，B错.
故选：ACD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.函数的单调递增区间为______．
【答案】
【解析】函数f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex﹣1，
由f′（x）＞0，即ex﹣1＞0，ex＞1＝e0，
解得x＞0，
故答案为（0，+∞）．
13.已知数列的前项和为，，则_____.
【答案】30
【解析】由题设
.
故答案为：30
14.若对于任意，都有成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由，
可得：，
即，
构造函数，易知单调递增，
所以，
等价于在恒成立，
即在恒成立，
构造函数，
，易得时，，
时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
所以，
即实数的取值范围是，
故答案为：
四、解答题（本题共5小题；共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求的值域.
解：（1）由题设，
当或，，则在、上单调递增，
当，，则上单调递减，
所以增区间为、，减区间为；
（2）由（1）知，在、上单调递增，在上单调递减，
且，，，，
所以时，的值域为.
16.已知数列的前项和为，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）在等差数列中，，，求数列的前n项和.
解：（1）①，当时，，解得，
当时，②，
式子①-②得，
即，
故为首项为2，公比为2的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，，，
设的公差为，
则，解得