江西省南昌市第二中学2024?2025学年高二下学期第二次阶段性考试（5月）数学试题
一、单选题
1．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知数列的前项和为，若，则（????）
A． B． C． D．
3．已知函数，其导函数为，下列说法不正确的是（???）
A．函数的单调减区间为
B．函数的极小值是
C．函数的图象有条切线方程为
D．点是曲线的对称中心
4．已知数列满足，则（???）
A．2 B． C． D．
5．计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（????）
A． B． C． D．
6．函数的大致图象如图所示，则函数的单调递增区间是（???）
??
A． B．和
C．和 D．和
7．已知定义在上的函数的导函数为，任意，有，且，设，，，则
A． B．
C． D．
8．已知，若存在实数（），当（）时，满足，则的取值范围为（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下面说法不正确的是（????）
A．若不存在，则曲线在点处没有切线
B．若曲线在点处有切线，则必存在
C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在
D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在
10．我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值.关于该问题，下列结论正确的是（????）
A．
B．此人第三天行走了一百二十里
C．此人前七天共行走了九百一十里
D．此人有连续的三天共行走了三百九十里
11．双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（????）
A．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数
B．
C．函数的值域为
D．
三、填空题
12．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为.
13．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列有两种，分别为，，若序列的所有项都是2，且，，则等于.
14．已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为.
四、解答题
15．已知函数.讨论的单调性；
16．如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值．
17．已知椭圆的中心为O，右顶点为A，在线段OA上任意选定一点，过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点.
（1）设，在OM的延长线上求一点N，使得，，成等比数列，试证明直线PN，QN都是C的切线；
（2）通过解答（1），先猜想求过椭圆上一点的切线方程的一种方法，再加以证明.
18．已知常数且，在数列中，首项，是其前项和，且，.
（1）设，，证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
（2）设，，证明数列是等差数列，并求出的通项公式；
（3）若当且仅当时，数列取到最小值，求的取值范围．
19．已知函数，．
（1）当时，求曲线与的公切线的方程；
（2）若有两个极值点和，且，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【详解】试题分析：，，令，解得．
考点：导数的几何意义．
2．【答案】C
【详解】由题意，所以.
故选C.
3．【答案】C
【详解】由，得，
令，则，令，则或，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以函数的极小值是，故AB正确；
对于C，设切点为，
则，解得或，
当时，，切线方程为，
当时，，切线方程为，
所以函数的图象没有一条切线方程为，故C错误；
对于D，因为
，
所以点是曲线的对称中心，故D正确.
故选C.
4．【答案】C
【详解】由题意可得①，
所以时，②，
①②得，所以，所以．
故选C．
5．【答案】B
【详解】本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案.
【详解】.
故选B.
6．【答案】D
【详解】由题可知，由图可知当时，，
当，，所以的解集为.
故选D.
7．【答案】A
【详解】构造函数，所以函数是增函数，因为，即，
故函数是偶函数，上函数是增函数，故
代入解析式得到，故.
故答案为A.
8．【答案】D
【详解】作出的图象如图，
由题，，，
所以，
令（），则当时，；当时，.
，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，且，
所以的取值范围为.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，若不存在，则曲线在点不一定没有切线，
例如，函数，可得在的导数不存在，
但曲线在该点处