山西省太原市常青藤中学校、朔州市平鲁区李林中学2024?2025学年高一下学期联考数学试题
一、单选题
1．复数的虚部是（????）
A．i B． C．1 D．
2．已知向量，若∥，则实数的值为（??????）
A．2 B． C．8 D．
3．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（???）
A． B． C． D．
4．以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（????）
A． B． C． D．
5．已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（???）
A． B． C． D．
6．在中，角的对边分别是，若，则（????）
A．2 B．3 C． D．
7．结合图示，某坡度为的看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（???）
A． B． C．90m D．
8．已知三内角的对边分别为，且，若角的平分线交于点，且，则的最小值为
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（????）
A．用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
10．已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（???）
A．若，则 B．
C．是的充要条件 D．若，则中至少有一个为0
11．是的外心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（????）
A．的外接圆半径为
B．在方向上的投影向量等于
C．
D．的最小值为
三、填空题
12．若正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，且高为1，则其体积为.
13．如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为.
14．如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为．
??
四、解答题
15．已知复数．
（1）若，求；
（2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小．
16．记的内角的对边分别为，已知向量，，且.
(1)求；
(2)若的面积为，且，求.
17．如图，在平面四边形中，，，，．
（1）求四边形的周长；
（2）求四边形的面积．
18．已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
19．高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱.的高是正四棱锥.的高的4倍.
（1）若；
(i)求该模型的体积；
(ii)求顶部正四棱锥的侧面积；
（2）若顶部正四棱锥的侧棱长为6，当为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由复数，根据复数的定义，可得复数的虚部为.
故选C.
2．【答案】B
【详解】由题意，向量，
因为∥，可得，解得.
故选B.
3．【答案】A
【详解】因为，，，所以，
因为，所以，所以.
故选A
4．【答案】D
【详解】由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径，高，
侧面积，
故选D.
5．【答案】D
【详解】在中，，由有两解，得，
即，解得，
所以的取值范围为.
故选D
6．【答案】A
【详解】因为，
由正弦定理，可得，所以，
又因为，所以，所以，
又由正弦定理，可得，即
因为，所以.
故选A.
7．【答案】A
【详解】如图所示，由题意，
则，
在中，因为，
所以，
在中，，
所以建筑的高度为.
故选A.
8．【答案】C
【详解】由及正弦定理，得，
因为，，所以，即，
因为，所以.
如图，，
所以，
所以，即，
∴，
当且仅当，，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选C.
9．【答案】AB
【详解】
对于A，直观图的面积为，故A正确；
对于B，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，正确；
对于C，两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，因为其侧棱延长线不一定交于一点，故错误；
对于D，以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体是两个圆锥的组合体，故错误．
故选AB
10．【答案】BD
【详解】若，则可以为，故A错；
设，，，
则，
，
所以，，故B正确；
当，时，为虚数，不能比较大小，故C错；
，则，解得或，故D正确.
故选BD.
11．【答案】AC
【分析】利用余弦定理及正弦定理求外接圆的半径，计算与比较即可判断，利用坐标系来求解，通过数形结合，理解当，重合时，，取最小值．
【详解】A．由余弦定理得：，解得：，
根