山东省烟台市牟平第一中学2024?2025学年高一下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．下列几何元素可以确定唯一平面的是（????）
A．三个点 B．圆心和圆上两点
C．梯形的两条边 D．一个点和一条直线
2．设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（????）
A．若，，则m，n为异面直线
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
3．在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（????）
A． B． C． D．
4．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，与所成角的度数为30°，则与所成角的度数为
A．90° B．45° C．60° D．30°
5．一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（???）
A． B． C． D．
6．已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（????）
A． B． C． D．
7．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（????）
A． B．AB与平面所成的角为
C． D．与平面所成的角为
8．设三棱柱的侧棱垂直于底面，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（????）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若m，n是异面直线，，，，，则
10．已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（????）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
C．圆锥截面的面积的最大值为
D．从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为
11．如图正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（???）
A．正方体被面分割成两部分的体积比为
B．点C到平面的距离为.
C．四面体的外接球体积为
D．二面角的大小为
三、填空题
12．国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上，下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积为.
13．已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.
14．在矩形中，平面，则平面与平面的夹角的正切值为.
四、解答题
15．如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为.
??
（1）计算该模型的体积.（结果精确到）
（2）现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米元，总费用是多少？（结果精确到元）
16．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.
（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使//平面？说明理由.
17．如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且.
（1）证明：；
（2）若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小.
18．如图，在三棱柱中，平面ABC，，D是BC的中点.
（1）求证:平面;
（2）求证:平面平面;
（3）求直线AC与平面所成角的正弦值.
19．如图，三棱柱中，，，，，．
??
（1）证明：．
（2）求三棱柱的体积．
（3）求二面角的平面角余弦值大小．
参考答案
1．【答案】C
【详解】对A，三个不共线的点才能确定唯一平面，A错误；
对B，当圆上的两点和圆心共线时，三个点不能确定唯一平面，B错误；
对C，梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面，所以确定的平面唯一，C正确；
对D，当点在直线上时，这个点和直线不能确定唯一平面，D错误，
故选:C.
2．【答案】B
【详解】对A，若?，?，则，可能平行、相交、异面．故A错误；
对B，若⊥，则垂直平面内所有的直线，又∥，所以⊥．故B正确；
对C，若∥，∥，则，可能相交，平行．故C错误；
对D，若⊥，?，?，则，可能平行、相交、异面．故D错误．
故选B．
3．【答案】B
【详解】根据题意，中，，，，
由勾股定理得，
在直观图中，
，，
故的面积.
故选B
4．【答案】A
【详解】取的中点连接，如下图所示：因为，分别是，的中点，所以有，因为与所成角的度数为30°，所以，与所成角的大小等于的度数.
在中，
，故本题选A.
5．【答案】B
【详解】因为溶液高度恰为5cm，所以溶液的上底面半径为，
下底面半径为，高为，
所以溶液的体积.
故选B
6．【答案】C
【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形