新高考数学一轮复习
专题突破立体几何中的动态、轨迹问题
方法技巧
“动态”问题是高考立体几何中最具创新意识的题型，它融入了“动态”的点、线、等元素，为传
统的静态立体几何题增添了新的活力，使得题型更加新颖。同时，由于“动态”元素的引入，立体几何题
变得更加多元化，它能够在立体几何问题与平几何中的解三角形问题、多边形积问题以及解析几何问
题之间建立联系，实现这些知识点之间的灵活转化。
立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结：
1、定义法
2、交轨法
3、几何法
4、坐标法
5、向量法
题型一:由动点保持行求轨迹
【典例1?1】（多选题）在棱长为2的正方体ABCD-4ACiDi，M为CC］中点，N为四边形A^DA内一
点（含边界），若〃平面酗。，则列结论正确的是（）
4
A.NBi—NC］B.三棱锥B.-NBM的体积为;
C.点N的轨迹长度为2皿D.tan的取值范围为［1播］
【答案】BD
【解析】在棱长为2的正方体M^jCQ中点，N为四边形\D.DA内一点（含
边界），
B\N11平面8）,
取AA、QQ中点分别为N】、E,连接DBN、AE,耳口，N,如图:
■ABCD-BCD1为正方体，M为CC]中点，E为DD】中点，
:.AE//BM,B[DJIBD,D.NJ/AEffIBM,
、B]D]U平面B[D[N[,BD、跚U平面酗。，且已血项口=“，BD（｝BMBf
平面B】DNII平面BMD,
QN为四边形\DxDA内一点（含边界），且B]NII平面砌D,
点N在线段DN上（含端点），
对于A：当N在Q时，则瀚1与NG的夹角为4牛,此时Z8iQiG=45。，
则A0与NG不垂直，故A不正确；
对于B:N为四边形\DXDA内一点（含边界），
???N到平面6跛的距离为2,
114
三棱锥-NBM的体积为Vb「nbmn—abm=耳2乂于2乂2=与，故B正确；
对于C：由于点N在线段网上（含端点），
而RM=』AD；+AN；=必+f=焰,
.??点N的轨迹长度为打，故C不正确；
对于D：ABCDfBCD为正方体，
A^i1平面AQ，
A】Nu平面\DXDA,
:.AA±N,
△g为直角三角形，且直角为/BAN,
tanZAA^R=坐=上
]4NAN
?「点N在线段D]N]上（含端点），
22
则当AN最大时，即点N为点Q时，此时AN=2,此时tan/ANg]最小，为京=疽,
当AN最小时，即AN1DN，此时2$用、—2x；xlx2_2打，
DN^55
22=后
此时tan/^NB]最大，最大为2^5,
则tan林△冗的取值范围[1,打],故D正确.
故选：BD.
【典例1?2】已知长方体ABCD-A.B^D.,ABAD2,明=4,M是8四的中点，点尸满足
BPMC+uBB],其中2g[0,1],且肋P//平面AB.D.,则动点P的轨迹所形成的轨迹长度
是.
【答案】炬
【解析】如图所示，E,F,G,H,N分别为BC,C】