高级中学名校试卷
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山东省潍坊市2024届二模数学试题
一、单项选择题
1.已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
，故.
故选：C
2.已知随机变量，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知其均值为3，2和4关于3对称，
所以，
因此.
故选：C
3.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，
得，
再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
得.
故选：B.
4.已知，，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，，，
所以，
故选：A.
5.在平面直角坐标系内，将曲线：绕原点逆时针方向旋转角得到曲线，若是一个函数的图象，则可以为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】曲线图像如图所示，其图像为轴右侧的半圆，
根据函数的定义在函数定义域内任意的值都有唯一的值与其对应，
反映到图像上就是在其定义域内作与轴垂直的直线，与函数图像有一个交点，
因此四个选项仅逆时针旋转满足条件.
故选：C.
6.如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，作出轴截面，
分别为上下底面圆的圆心，为侧面切点，为内切球球心，
则为的中点，
，
因为，所以，
则
过点作，垂足为，
则，
在中，由勾股定理得，
即，解得或，
因为，所以，，故，
所以圆台的侧面积为.
故选：D.
7.已知函数则图象上关于原点对称的点有（）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【答案】C
【解析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.
因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故图象上关于原点对称的点有3对.
故选：C
8.已知P为抛物线上一动点，过P作圆的切线，切点分别为A，B，则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，则求的最大值即求最大值，
由题得圆心坐标，半径，设，则在中，，易知，
则最大时，最小，
设，，且，
则，
即时，，此时取得最大值，，
结合得此时，则.
故选：B.
二、多项选择题
9.已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（）
A.的焦距为 B.的离心率为
C.的周长为 D.面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】设椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，故，
所以焦距为，故A正确；
的离心率为，故B正确；
的周长为，故C错误；
对于D，当点位于椭圆的上下顶点时，的面积最大，
最大值为，故D正确.
故选：ABD.
10.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】对A，由可得数列，，，…不合题意，故A错误；
对B，由可得数列，，，…
则存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故B正确；
对C，由可得数列，，，…不满足题意，故C错误；
对D，由可得数列…
因为，
存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确；
故选：BD
11.已知向量，，为平面向量，，，，，则（）
A.
B.的最大值为
C.
D.若，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】对A，设，根据有，
即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误；
对B，
，则转化为求圆上的点到的距离最大值，
为，故B正确；
对C，，因为，故，故C正确；
对D，因为，故，
又因为，故，
，
故当时，取最小值取最小值，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
12.已知命题：，，则为___________．
【答案】
【解析】由特称命题的否定为全称命题可得为.
故答案为：
13.请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式__________．
①；②至少有两个零点；③有最小值．
【答案】（答案不唯一）
【解析】取，其对称轴为，满足①，
令，解得或2，满足②至少有两个零点，
，当，，满足③有最小值.
故答案为：（答案不唯一）.
14.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，其外接圆半径为1，，则的面积为_______；当A取得最大值时