高级中学名校试卷
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山东省威海市2024届高三二模数学试题
一、选择题
1.样本数据11，12，13，16，20，22，25，27，36的60%分位数为（）
A.20 B.21 C.22 D.23.5
【答案】C
【解析】样本数据11，12，13，16，20，22，25，27，36共9个数字，
所以，所以分位数为从小到大排列的第个数，即为.
故选：C.
2.在研究集合时，用来表示有限集合A中元素的个数．集合，，若，则实数m的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题：
所以，
故选：A.
3.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题知，，解得，
又双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为.
故选：D.
4.已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，则=（）
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】A
【解析】因为，，成等差数列，
所以，因为是正项等比数列，且，
，所以，解得：或（舍去），
所以.
故选：A.
5.已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线过点F，且与C在第一象限的交点为A，若，则p=（）
A.2 B.4 C.8 D.12
【答案】B
【解析】过点A作x轴的垂线，垂足为H，
因为直线AF的斜率为，所以，
则，
所以，点A坐标为，代入得，
整理得，解得或（舍去）.故选：B
6.在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，若平面与平面的交线为l，则l与直线所成角的大小为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为E，F分别为棱BC，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又平面平面，，所以，
又，所以，所以l与直线所成角的大小等于.
故选：C
7.已知向量a，b满足，，且对，，则=（）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，
因为对，，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
8.设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，可得，所以在上单调递增，
当时，，所以，
所以，所以，
令，求导可得，
当，，所以单调递减，所以，
即，所以，
令，可得，即，
所以.
故选：B.
二、选择题
9.下列命题为真命题的是（）
A.是纯虚数
B.对任意的复数z，
C.对任意的复数z，为实数
D.
【答案】AC
【解析】对于A，是纯虚数，A正确；
对于B，对任意复数，
，，
所以和不一定相等，B错误；
对于C，设，则，
则，C正确；
对于D，
，D错误.故选：AC.
10.已知函数，则（）
A.在上单调递减
B.将图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称
C.在上有两个零点
D.
【答案】BCD
【解析】于A，因为，
所以的图象关于对称，所以在上不单调，A错误；
对于B，由上知，的图象关于对称，
所以的图象向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称，B正确；
对于C，由得函数的零点为，
令，解得，
所以，即在上有两个零点，C正确；
对于D，因为，
，，
所以因为的最小值周期，
所以，D正确.
故选：BCD
11.数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点O为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：可以与边长为的正方形的四条边均相切，它的左、右顶点分别为A，B，则（）
A.
B.若矩形的四条边均与椭圆C相切，则该矩形面积的最大值为12
C.椭圆C的蒙日圆上存在两个点M满足
D.若椭圆C的切线与C的蒙日圆交于E，F两点，且直线OE，OF的斜率都存在，记为，，则为定值
【答案】ACD
【解析】A选项，由题意得边长为的正方形为的蒙日圆的内接正方形，故，解得，，A正确；
B选项，若矩形的四条边均与椭圆C相切，则该矩形为的蒙日圆的内接矩形，
其中蒙日圆的半径为，
设矩形的长为，宽为，故，
故矩形面积为，当且仅当时，等号成立，
故该矩形面积的最大值为24，B错误；
C选项，由题意得，蒙日圆方程为，
设，
故，
，
由得，
故，解得，
显然点可能在第一象限或第四象限，C正确；
D选项，下面证明椭圆在处的切线方程为，理由如下：
当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，
化简得：
，
所以，
把代入，得：，于是，
则椭圆的切线斜率为，切线方程为，
整理得到，
其中，故，即，
当时，此时或，
当时，切线方程为，满足，
当时，切线方程为，满足，
综上：椭圆在处的切线方程为；
设切点为