高级中学名校试卷
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山东省齐鲁名校2025届高三联考四数学试题
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由可得，故，
由可得，则，
所以.
故选：D.
2.已知复数满足为虚数单位，则（）
A. B. C.1 D.
【答案】A
【解析】由，得，
所以.
故选：A
3.已知向量，，若，则（）
A. B. C.1 D.2
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为向量，，所以和，
所以，解得或.
故选：B.
4.点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如下图：
不妨设椭圆的方程为，椭圆的上顶点为.
因为椭圆上存在点，使得，所以需；
在中，由余弦定理得，
又，化简得.
同理可得，椭圆焦点在轴上时，也有，经检验可知选项B满足.
故选：B.
5.一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，得圆锥形容器的底面半径，高.
因为边长为的正三角形的内切圆半径，所以轴截面是边长为的正三角形的圆锥的内切球半径为1，
所以小球与容器的侧面，底面均相切.
要使小球的体积与容器体积之比最大，则小球的半径最大，所以只需小球与小球，
圆锥形容器的侧面都相切，其轴截面如图.此时，
所以小球的体积与容器体积之比的最大值为.
故选：A.
6.若存在且，使得对任意，均有成立，则称函数具有性质.已知函数的定义域为，给出下面两个条件：条件单调递减且；条件单调递增且存在，使得.下面关于函数具有性质的充分条件的判断中，正确的是（）
A.只有是 B.只有是
C.和都是 D.和都不是
【答案】C
【解析】对于，当时，，
因为单调递减且，所以，
故存在且，对任意的，
均有即成立，
所以是函数具有性质的充分条件；
对于，当时，，
因为单调递增，所以恒成立，
故存在，且，
对任意的，均有成立，
所以也是函数具有性质的充分条件.
故选：C.
7.某导航通讯的信号可以用函数近似模拟，若方程在上有3个根，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】方程在上有3个根，即在上有3个根，也即是与的图象在上有3个交点，
令，因为，所以.
由题意得，函数的图象与直线有三个交点，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：A.
8.已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以.
令，整理得，由题意得此方程有两个不同的解；
设，则函数的图象与直线有两个交点；
易知，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，其图象如下图所示：
又当时，，当时，，
当趋近于时，趋近于0，所以，解得，
即实数的取值范围是，
故选：A.
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知三个正态密度函数的图象如图所示，则（）
A.
B.
C.若，则
D.若，则存在实数，使得
【答案】CD
【解析】根据正态曲线关于直线对称，且越大曲线越靠右，则，故A错误；
又越小，数据越集中，正态曲线越瘦高，则，故B错误；
，
则，
所以，故C正确；
由三个正态密度函数的图象可知，存在实数，使得，故D正确；
故选：CD．
10.南北朝时期杰出的数学家，天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率，定义函数，下列有关函数的结论中，正确的是（）
A.方程的解集为
B.，使得，都有
C.当时，
D.若，函数为常数函数，则的最小值为7
【答案】AD
【解析】因为，
且，
所以函数的值域为.
对于A，由题意得，
，
，
考虑到当时，，
则方程的解集为，故A正确.
对于B，当时，，从而，都有，故B错误，
对于C，因为，所以，
由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
所以当或时，取得最小值7，故C错误，
对于D，由题意得
，
若要使函数为常数函数，则，
对于任意的，则，
又由题意得，
，
，
，
则的最小值为7，故D正确.
故选：AD.
11.抛物线有如下光学性质：由