第1页，共31页，星期日，2025年，2月5日1算符之间的对易关系1.1算符的基本运算关系（1）算符之和：算符与之和定义为为任意函数一般，例如粒子的哈密顿算符是动能算符与势能算符之和（2）算符之积：算符与之积定义为（1）（2）第2页，共31页，星期日，2025年，2月5日算符之积对函数的作用有先后作用次序问题一般不能颠倒个相同算符的积定义为算符的次幂例如则为了运算上的方便，引入量子括号（3）（5）第3页，共31页，星期日，2025年，2月5日若称算符与是不对易的（不能交换位置）即若称算符与是对易的即下面几个经常使用的对易关系请自行证明（6）（7）第4页，共31页，星期日，2025年，2月5日1.2坐标算符与动量算符的对易关系坐标算符是乘数因子相互对易动量算符是微分算符因为则坐标算符与动量算符：设为任意函数（12）（13）第5页，共31页，星期日，2025年，2月5日比较后可得但是同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式可概括为其中※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此导出。（14a）（14b）(14c)第6页，共31页，星期日，2025年，2月5日1.3角动量算符的对易关系只证明其中一个，请注意证明方法记忆方法：从左至右以依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。(15)第7页，共31页，星期日，2025年，2月5日以相同的推导方法和记忆规律，有另外有（16）（17）（18）第8页，共31页，星期日，2025年，2月5日1.4几个重要的推论(1)(2)（3）球坐标下是的函数，若有径向函数算符则（19）（20）（21）（22）第9页，共31页，星期日，2025年，2月5日2共同本征函数完备系2.1共同本征函数完备系带来算符对易设两个算符和有一个共同的本征函数，则必有及，即在态中可以同时确定这两个力学量的数值，那么这似乎提醒我们有，但下结论过早，因为这只是针对某一个特殊函数（本征函数），如果和有一组完备的共同本征函数，对于任意态函数（23）第10页，共31页，星期日，2025年，2月5日有则这时才说和是对易的。这个结论可以推广到多个算符，即如果一组算符有共同的本征函数完备系，则这组算符对易例如即在态中同时有确定值及，所以是的共同的本征函数，并且是完备的，所以（24）第11页，共31页，星期日，2025年，2月5日2.2逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备系的共同的本征函数。这里仅就非简并本征函数系加以证明若算符和相互对易，对于的本征函数，有可见也是算符的属于本征值的本征函数。已经假定非简并，所以对应的两个本征函数和最多