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2024-25秋季随机过程复习参考题目（mch老师）

整理人：21级lyy，grc

注这些题目包括老师留的作业题和复习题目，复习时要全部做完；从中选择了六

道题（下面的第一、二、四、六、十、十一题）作为期末考试题目.

Borel-Cantelli引理部分题目

一、已知(X)∞i.i.d.，并且X～N(0,1).记M=max{X,...,X}.

ii=1in1n

1?i?n

Mna.s.

√

求证：→1.

2logn

高斯过程部分题目

二、已知{B:t?0}为高斯过程，定义X=B?tB，其中0t1.证明X也是

ttt1t

一个高斯过程，并求cov(X,X)，0t,s1.

ts

Poisson过程部分题目

三、设X,X...X是独立的、有共同密度函数f的连续型随机变量，以X记

12n(i)

X,X...X中第i个最小者.

12n

(a)证明X(i)的密度函数为

()

n!i?1n?i

fX(i)(x)=(F(x))F(x)f(x)

(i?1)!(n?i)!

其中F(x)=∫xf(y)dy,F(x)=1?F(x).

?∞

n()

()∑n[F(x)]k[]n?k

(b)说明PX(i)?x=F(x).

k

k=i

(c)由前面两小题，证明如下概率恒等式

n()∫y

∑nyk(1?y)n?k=n!xi?1(1?x)n?idx.

k0(i?1)!(n?i)!

k=i

(d)以Ti记Poisson过程N(t),t?0的第i个事件的到来时刻，求

E[T|N(t)=n]

i

（注意分i?n与i