离散型随机变量的分布列和数字特征
考试要求理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.理解并会求离散型随机变量的数字特征．
链接教材夯基固本第5课时离散型随机变量的分布列和数字特征1．随机变量的有关概念(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有____的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以________的随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．唯一一一列举
?X01P1－pp≥1
?Xx1x2…xnPp1p2…pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn均值?期望平均水平?偏离程度?
5．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝__________．(a，b为常数)(2)D(aX＋b)＝________．(a，b为常数)[常用结论]1．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．2．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2．aE(X)＋ba2D(X)
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1． ()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． ()(3)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究． ()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小． ()×√√√
二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第三册P60练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是()A．第一枚6点，第二枚2点B．第一枚5点，第二枚1点C．第一枚1点，第二枚6点D．第一枚6点，第二枚1点D[第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5.故选D.]√
2．(人教A版选择性必修第三册P60练习T3改编)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝________．?3．(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)已知随机变量X的分布列为若Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________．?X－101P??
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典例精研核心考点第5课时离散型随机变量的分布列和数字特征?则q＝________．X－101P1－qq－q2√√?
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?名师点评分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
[跟进训练]1．(1)若随机变量X的分布列为则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是()A．(－∞，2] B．[1，2]C．(1，2] D．(1，2)(2)设随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10，若随机变量η＝2ξ－1，则P(η6)＝________．√X－2－10123P0.10.20.20.30.10.10.3
?
?X01234P0.20.10.10.3m√
?X012342X＋1135792X＋113579P0.20.10.10.30.3
②由①知m＝0.3，列表为所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，故η＝|X－1|的分布列为X01234|X－1|10123η0123P0.10.30.30.3
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(2)由题意可知，X的可能取值为0，10，20，30，所以，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06.即X的分布列为期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.X0102030P0.160.440.340.06
名师点评离散型随机变量分布列的求解步骤
[跟进训练]2．(1)编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________．(2)(2024年1月九省联考卷