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2022-2023学年第二学期高等代数与解析几何2-2

期末考试试题A

1.（15分）已知二次曲面22+2+22+2+2+2=3经正交线

123121323

11

性替换(2)=(2)化为椭球面12+22+32=3，求,的值及正交矩阵。

33

2.（15分）设为数域，在2×2中令

={(?)|,,∈}，={()|,,∈}

11?

(1)证明：,均为2×2子空间；

12

(2)求+及∩的维数与一组基。

1212

3.（15分）设矩阵

?110

=(?130)

102

求的特征多项式与最小多项式以及标准形。

?1

4.（15分）求直线==绕轴旋转所产生的曲面方程。

1?33

5.（15分）设为数域上线性空间中的线性变换，满足2=，

(1)证明：=()⊕?1(0)；

()?1

(2)证明：若是中与可交换的线性变换，则,(0)均为的不变子空间。

222

6.（15分）求单叶双曲面+?=1上两条互相垂直的直母线交点的轨迹方程。

222

||||||

7.（10分）设为阶正定矩阵，为阶半正定矩阵，证明：+≥+，

当且仅当=0等号成立。