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文档摘要

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数学学院本科生2021—2022学年第2学期抽象代数课程期末考试试卷(A卷)

平时成绩：卷面折合成绩：总成绩：（期末考试成绩和平时成绩比例：70:30）

专业：年级：学号：姓名：

题目一二三四五六七卷面成绩

得分

草稿区

一、判断题.判断下列论断是否正确,若正确,给出简要证明,否则举反例说明.(本题共20

分,每小题5分)

1.设M为主理想整环D上的自由模,N为M的真子模,则N的秩一定严格小于M

的秩.

2.设M为交换幺环R上的一个自由模,则M是无扭模.

3.记f(x)∈R[x]且次数为n0.记E为f(x)的分裂域.则[E:R]≤2.

4.域F的代数扩总是有限扩.

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二、(本题15分)设D为一个主理想整环,M为一个有限生成D模.任取M的子模N,

试证明D模M,N和M/N的秩r(M),r(N)和r(M/N)满足关系

草稿区

r(M)=r(N)+r(M/N).

三、(本题15分)设E/F为一个域扩,满足[E:F]为一个数p.任取E中不属于F

的元α,试证明E=F(α).

第2页共4页

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四、(本题15分,每小题5分)设域E为域F上某个次数为n0的不可约多项式的分

裂域.

草稿区

1.试证明[E:F]≤n!.

2.试给出域E和F满足[E:F]=n!的例子.

3.试给出域E和F满足[E:F]n!的例子.

五、(本题15分)设E/F为一个域扩.设α,β∈E为域F上的代数元,满足

[F(α):F]=m,[F(β):F]=n.

试证明[F(α,β):F]≤mn.