2024-2025学年度大类数学分析III期末测试
(含A，B卷)
命题人：李佳傲
2025年1月13日
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写在前面的几条温馨提示
其一，心态要好，李老师卷子以大计算量为特点，而且第一、二题级
数举反例或者答案较丑的求值题容易让考生道心破碎，浪费大量时间，但
实际上它们并不难。
其二，熟练度很重要，李老师的卷子，如果每一题都用笔者能想到的
最简写法，其实完全可以在一小时内解决，但是如果在一些题忘记做法或
者使用最无脑的算法就很容易导致不必要的失误。因此备考李老师的期末，
建议把南开数学分析中的习题（含AB组题目，尤其是计算题）刷完。
其三，每年李老师基本都会考一题关于一致收敛与换序的课本命题证
明题，如果你读课本比较仔细，或者拿卓里奇《数学分析》自学过，你可
能会发现，使用课本16章证明的一些换序定理可以大幅简化证明，然而，
尽管没有明确在试卷上指出，在批卷实践中使用16章定理走捷径的方法是
不被允许的，这会导致不必要的失分，务必牢记。至于这道证明题的标准
解答，应以19章所写的统定义法（即使用ε-δ语言直接证明）为标准。
—————AnnalysiaKoirishi
此外，在此感谢回忆B卷的tjy同学，他似乎是唯一一个考了李老师B卷
的人。
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A卷
回忆人：AnnalysiaKoirishi
一、考虑发散的正项级数∞u，其中u≤2024，并记S为第n部分
n=1nnn
和，试判断下列级数的收敛情况（一定收敛，一定发散还是可能收敛也可
能发散）：
∞∞
(1)un(2)un.
nSn+1
n=1n=1
二、设un(x)是[a,b]上的函数，且?limun(x)=:un(b?),n=1,2,...，
x→b?
又函数项级数∞un(x)在(a,b)上一致收敛，求证：
n=1
∞∞
?un(b?)=limun(x).
x→b?
n=1n=1
∞2n+1
(?1)n1
三、(1)求级数n(2n?1)√3的和.
n=1
(2)求函数f(x)=12在x=0处的泰勒展开.
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