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2024–2025学年第1学期抽象代数I课程期中考试试卷

参考解答

一,判断下列论断是否正确,若正确,给出简要证明,否则举反例说明.

1.若群所有的子群都是正规子群,则为一个交换群.

2.任取群有两个子群和,则={∈|∈,∈}是一个子群当且仅当

=.

3.任取群和非空集合,都存在至少一个在上的群作用.

4.阶为21的群不是单群.

解.1.错误.反例:8={±1,±,±,±}.

′′′′′′′′

2.正确.若为一个子群,则对任意∈和∈,有,∈和,∈,满足=

和?1?1′′′′=.因此有=′?1′?1和′′′′=.因此?且?,即

=.

反之,设=.注意到非空.任取,′∈和,′∈,考虑

′′?1′?1′?1

()=().

由于=,存在′′∈和′′∈,满足(′?1)′?1=′′′′.因此

′′?1′′′′

()=()∈.

所以为一个子群.

3.正确.射

×→

(,)?→

给出在上的平凡作用.

4.正确.设为一个21阶群.考虑21的数分解3×7.记7为的Sylow7-子群的个数.利

用Sylow定理可知:

7≡1mod7,7|3.

因此7=1.由此可知有一个7阶正规子群,不是单群.

二,考虑群SL(2,Z).(群运算为矩阵乘法)

1.证明SL(2,Z)可以由

{?[?]?[?]?}?

1110

01,11

生成.

证明.记

[?]?[?]?

1110

==