概率、统计的综合问题;;?;[跟进训练]
1．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：
(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且σ＝6.1，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)；;(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15)的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动不低于15天的学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表：;?;?;(2)由频数分布表知，锻炼活动的天数在[0，15)的人数为4＋15＋33＝52，
∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15)的学生中有20名男生，
∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15)的学生中女生人数为52－20＝32.
由频数分布表知，锻炼活动的天数在[15，30]的人数为31＋11＋6＝48，
∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15，30]的学生中有30名男生，
∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15，30]的学生中女生人数为48－30＝18.
列联表如下：;?;?;?;?;?;?;?;【教师备选资源】
(2019·全国Ⅰ卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的??计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
(i)证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；
(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．;?;?;考点三概率、统计与函数的交汇问题
[典例3](12分)根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为：;?;?;?;?;[跟进训练]
3．(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)．
(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)1时，p1；
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．;[解](1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
(2)法一(常规求导)：
p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x＞0，令f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝2p2＋6p3x≥0，∴f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，当E(X)＝p1＋2p2＋3p3≤1时，注意到x∈(0，1]时，f′(x)≤f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0，∴f(x)在(0，1]上单调递减，注意到f(1)＝0，∴x＝1，即p＝1.
当E(X)＝p1＋2p2＋3p3＞1时，注意到f′(0)＝p1－1＜0，f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1＞0，∴存在唯一的x0∈(0，1)使f′(x0)＝0，且当0＜x＜x0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，注意到f(0)＝p0＞0，f(1)＝0，∴f(x0)＜f(1)＝0.
∴f(x)在(0，x0)上有一个零点x1，另