2025年线性代数（行列式与矩阵）大学课程期末考试试题解析
一、单项选择题
要求：从每小题给出的四个选项中，选出一个最符合题目要求的答案。
1.设\(A\)为\(n\)阶方阵，以下结论正确的是：
A.如果\(A\)可逆，那么\(|A|\neq0\)
B.如果\(|A|\neq0\)，那么\(A\)可逆
C.如果\(A\)不可逆，那么\(|A|=0\)
D.以上所有结论都是正确的
2.设\(A\)和\(B\)是两个\(n\)阶方阵，则下列命题中，正确的是：
A.\(|AB|=|A||B|\)
B.\(|A^{-1}|=|A|^{-1}\)
C.\(|A+B|=|A|+|B|\)
D.\(|A^2|=|A|^2\)
二、填空题
要求：将答案填入题目中的空格处。
3.设\(A\)是\(3\)阶方阵，且\(A\)的行列式\(|A|=5\)，那么\(A\)的伴随矩阵\(A^*\)的行列式\(|A^*|\)为____。
4.若一个\(n\)阶方阵\(A\)满足\(A^2=0\)，则\(A\)的特征值为____。
5.若矩阵\(A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^*\)为____。
三、解答题
要求：写出详细的解题步骤和计算过程。
6.求解线性方程组\(\begin{cases}2x+3y-z=6\\4x+y+2z=10\\3x+2y+5z=15\end{cases}\)。
7.设\(A\)为\(3\)阶可逆矩阵，且\(B=A^2\)，求矩阵\(B\)的逆矩阵\(B^{-1}\)。
四、证明题
要求：证明以下命题，并给出详细的证明过程。
8.证明：对于任意\(n\)阶方阵\(A\)，都有\(A^TA\)是一个对称矩阵。
五、计算题
要求：计算以下矩阵的行列式，并给出计算过程。
9.设\(A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)，计算\(|A|\)。
六、应用题
要求：根据矩阵的性质解决实际问题。
10.设\(A\)是一个\(4\)阶方阵，且\(A\)的特征值为\(2,2,3,3\)。已知\(A\)的一个非零特征向量\(\alpha=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}\)，求\(A\)的伴随矩阵\(A^*\)的一个特征值。
本次试卷答案如下：
一、单项选择题
1.A
解析：根据行列式的性质，如果方阵\(A\)可逆，则其行列式\(|A|\)不为零。
2.B
解析：根据矩阵乘法的性质，两个可逆矩阵的乘积也是可逆的，并且其行列式等于两个矩阵行列式的乘积。
二、填空题
3.5
解析：由于\(A\)是\(3\)阶方阵，且\(|A|=5\)，根据伴随矩阵的性质，\(|A^*|=|A|^{n-1}=5^{3-1}=25\)。
4.0
解析：如果\(A^2=0\)，则\(A\)的特征值满足\(\lambda^2=0\)，因此特征值为\(0\)。
5.\(\begin{bmatrix}2-1\\-32\end{bmatrix}\)
解析：伴随矩阵\(A^*\)的元素是\(A\)的代数余子式的转置，计算得\(A^*=\begin{bmatrix}2-1\\-32\end{bmatrix}\)。
三、解答题
6.解：通过高斯消元法或矩阵的逆来求解线性方程组。
\[
\begin{bmatrix}23-1|6\\412|10\\325|15\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{行变换}}\begin{bmatrix}13/2-1/2|3\\0-5/27/2|-2\\0-1/211/2|6\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{行变换}}\begin{bmatrix}13/2-1/2|3\\01-7/5|4/5\\001|1\end{bmatrix}
\]
所以\(x=3,y=4/5,