2025年线性代数（向量与线性方程组）线性代数在工程中的应用试题集
一、向量运算与应用
要求：掌握向量的基本运算，并能够应用于实际问题中。
1.设向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(4,5,6)$，求$\vec{a}+\vec{b}$。
2.设向量$\vec{a}=(2,3,4)$，$\vec{b}=(5,6,7)$，求$\vec{a}-\vec{b}$。
3.设向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(4,5,6)$，求$\vec{a}\cdot\vec{b}$。
4.设向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(4,5,6)$，求$\vec{a}\times\vec{b}$。
5.设向量$\vec{a}=(1,2,3)$，求$\vec{a}$与$\vec{a}$的模。
6.设向量$\vec{a}=(1,2,3)$，求$\vec{a}$的方向向量。
二、线性方程组求解
要求：掌握线性方程组的求解方法，并能够应用于实际问题中。
1.解线性方程组$\begin{cases}x+2y+3z=1\\2x+4y+6z=2\\3x+6y+9z=3\end{cases}$。
2.解线性方程组$\begin{cases}2x-y+z=1\\3x-2y+2z=2\\4x-y+3z=3\end{cases}$。
3.解线性方程组$\begin{cases}x+y-z=1\\2x+2y-2z=2\\3x+3y-3z=3\end{cases}$。
4.解线性方程组$\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+4y-2z=2\\3x+6y-3z=3\end{cases}$。
5.解线性方程组$\begin{cases}2x-y+z=1\\3x-2y+2z=2\\4x-y+3z=3\end{cases}$。
6.解线性方程组$\begin{cases}x+y-z=1\\2x+2y-2z=2\\3x+3y-3z=3\end{cases}$。
三、线性方程组的解的性质
要求：掌握线性方程组的解的性质，并能够应用于实际问题中。
1.判断以下方程组是否有解，若有解，求出其解：
$\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+4y-2z=2\\3x+6y-3z=3\end{cases}$。
2.判断以下方程组是否有解，若有解，求出其解：
$\begin{cases}2x-y+z=1\\3x-2y+2z=2\\4x-y+3z=3\end{cases}$。
3.判断以下方程组是否有解，若有解，求出其解：
$\begin{cases}x+y-z=1\\2x+2y-2z=2\\3x+3y-3z=3\end{cases}$。
4.判断以下方程组是否有解，若有解，求出其解：
$\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+4y-2z=2\\3x+6y-3z=3\end{cases}$。
5.判断以下方程组是否有解，若有解，求出其解：
$\begin{cases}2x-y+z=1\\3x-2y+2z=2\\4x-y+3z=3\end{cases}$。
6.判断以下方程组是否有解，若有解，求出其解：
$\begin{cases}x+y-z=1\\2x+2y-2z=2\\3x+3y-3z=3\end{cases}$。
四、线性空间与基
要求：理解线性空间的概念，并能识别线性空间中的基和维数。
1.设$V$是所有二次多项式的集合，定义加法为多项式的加法，定义数乘为常数乘以多项式。证明$V$是一个线性空间。
2.设$V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\midx+y+z=0\}$，证明$V$是一个线性空间，并找出$V$的一组基。
3.设$V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\m