2025年线性代数（向量与线性方程组）大学本科期中考试试题精选
一、向量空间与线性变换
要求：请根据以下定义和性质，完成下列各题。
1.设向量空间V由所有满足条件\(a^2+b^2=1\)的二元组\((a,b)\)组成，证明V是一个向量空间，并求出V的一个基和一个维数。
2.已知向量空间V由所有满足条件\(a+2b+3c=0\)的三元组\((a,b,c)\)组成，求V的维数，并给出V的一个基。
二、线性方程组
要求：请根据以下定义和性质，完成下列各题。
3.解线性方程组：
\[
\begin{cases}
x+2y-z=3\\
2x-y+3z=1\\
-x+y-2z=-2
\end{cases}
\]
4.已知线性方程组：
\[
\begin{cases}
x+2y+3z=1\\
2x-y+4z=2\\
3x+y+6z=3
\end{cases}
\]
求该方程组的通解。
5.设线性方程组：
\[
\begin{cases}
x+y+z=1\\
2x+2y+2z=2\\
3x+3y+3z=3
\end{cases}
\]
求该方程组的解，并说明解的性质。
6.已知线性方程组：
\[
\begin{cases}
x+y+z=1\\
2x+2y+2z=2\\
3x+3y+3z=3
\end{cases}
\]
求该方程组的系数矩阵A的秩，增广矩阵B的秩，以及方程组有无解，若有解，求出通解。
四、矩阵与行列式
要求：请根据以下定义和性质，完成下列各题。
7.计算矩阵\(A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\)的行列式。
8.设矩阵\(B=\begin{bmatrix}210\\132\\021\end{bmatrix}\)，求矩阵B的逆矩阵（如果存在）。
9.已知矩阵\(C=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)，求矩阵C的秩。
10.设矩阵\(D=\begin{bmatrix}100\\010\\001\end{bmatrix}\)，求矩阵D的行列式。
五、特征值与特征向量
要求：请根据以下定义和性质，完成下列各题。
11.设矩阵\(E=\begin{bmatrix}41\\13\end{bmatrix}\)，求矩阵E的特征值和对应的特征向量。
12.已知矩阵\(F=\begin{bmatrix}210\\021\\102\end{bmatrix}\)，求矩阵F的特征值和对应的特征向量。
13.设矩阵\(G=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)，判断矩阵G是否可对角化，如果可以，求出对角化矩阵。
14.已知矩阵\(H=\begin{bmatrix}100\\020\\003\end{bmatrix}\)，求矩阵H的特征值和对应的特征向量。
六、二次型
要求：请根据以下定义和性质，完成下列各题。
15.设二次型\(I=x^2+4xy+4y^2\)，将其化为标准形，并求出正负惯性指数。
16.已知二次型\(J=2x^2+4xy+2y^2\)，求其正负惯性指数，并判断该二次型是否正定。
17.设二次型\(K=x^2-2xy+2y^2\)，求出其正负惯性指数，并判断该二次型是否正定。
18.已知二次型\(L=3x^2+6xy+3y^2\)，求出其正负惯性指数，并判断该二次型是否正定。
本次试卷答案如下：
一、向量空间与线性变换
1.证明V是一个向量空间，并求出V的一个基和一个维数。
解析：V是一个向量空间，因为它满足向量空间的八个公理。基可以是\(\{(1,0),(0,1)\}\)，维数为2。
2.求V的维数，并给出V的一个基。
解析：V的维数为1，因为所有向量都是线性相关的。基可以是\((1,2,3)\)。
二、线性方程组
3.解线性方程组：
\[
\begin{cases}
x+2y-z=3\\
2x-y+3z=1\\
-x+y