2025年线性代数期末考试试卷：线性代数在计算机科学中的应用
一、线性空间与线性变换
要求：运用线性空间与线性变换的理论，解决以下问题。
（1）设向量空间V={x|x=（x1，x2），x1，x2∈R}，验证以下两个向量是否属于V：
a.a=（2，3）
b.b=（1，0）
（2）已知线性空间V={x|x=（x1，x2），x1，x2∈R，x1+x2=0}，求V的维数，并求出V的一个基。
（3）设线性空间V={x|x=（x1，x2，x3），x1，x2，x3∈R，x1+x2+x3=0}，求V的维数，并求出V的一个基。
二、矩阵与行列式
要求：运用矩阵与行列式的理论，解决以下问题。
（1）计算以下矩阵的行列式：
A=|123|
??|456|
??|789|
（2）设矩阵A=|abc|
??????????????|def|
??????????????|ghi|，
求矩阵B=|a+db+ec+f|
??????????????|d+ee+ff+g|
??????????????|g+hh+ii+j|的行列式。
（3）已知矩阵A=|123|
??????????????|456|
??????????????|789|，
求矩阵A的伴随矩阵A*。
三、特征值与特征向量
要求：运用特征值与特征向量的理论，解决以下问题。
（1）设矩阵A=|123|
??????????????|456|
??????????????|789|，
求矩阵A的特征值。
（2）设矩阵A=|123|
??????????????|456|
??????????????|789|，
求矩阵A的特征向量。
（3）设矩阵A=|123|
??????????????|456|
??????????????|789|，
求矩阵A的特征多项式。
四、二次型与正定二次型
要求：运用二次型与正定二次型的理论，解决以下问题。
（1）将二次型f（x1，x2，x3）=x1^2-4x1x2+5x2^2+2x1x3-6x2x3+3x3^2化为标准形。
（2）判断二次型f（x1，x2，x3）=x1^2+x2^2+4x3^2-2x1x2-4x1x3+2x2x3是否为正定二次型，并给出理由。
（3）已知二次型f（x1，x2，x3）=x1^2+2x2^2+5x3^2-4x1x2+2x1x3+4x2x3，求其正惯性指数和负惯性指数。
五、矩阵方程与线性方程组
要求：运用矩阵方程与线性方程组的理论，解决以下问题。
（1）解线性方程组：
x1+2x2-x3=1
2x1-3x2+4x3=0
-x1+5x2-2x3=2
（2）设矩阵A=|123|
??????????????|456|
??????????????|789|，
求解矩阵方程AX=B，其中B=|123|
??????????????|456|
??????????????|789|。
（3）已知线性方程组：
2x1-x2+3x3=1
-x1+2x2-x3=2
3x1-2x2+x3=0
求该方程组的通解。
六、向量空间与子空间
要求：运用向量空间与子空间的理论，解决以下问题。
（1）设向量空间V={x|x=（x1，x2，x3），x1，x2，x3∈R，x1+x2+x3=0}，求V的维数，并求出V的一个基。
（2）设向量a=（1，2，3），b=（4，5，6），c=（7，8，9），验证向量a，b，c是否构成向量空间R^3的一个基。
（3）已知向量空间V={x|x=（x1，x2，x3），x1，x2，x3∈R，x1-x2+x3=0}，求V的维数，并求出V的一个基。
本次试卷答案如下：
一、线性空间与线性变换
（1）a.属于V，因为a=（2，3）满足x1+x2=0。
??b.不属于V，因为b=（1，0）不满足x1+x2=0。
（2）V的维数为1，一个基为{（1，-1）}。
（3）V的维数为2，一个基为{（1，-1，0），（0，0，1）}。
二、矩阵与行列式
（1）|A|=1*5*9+2*6*7+3*4*8-1*6*8-2*5*7-3*4*5=0。
（2）|B|=|a+db+ec+f|
??????????????|d+ee+ff+g|
??????????????|g+hh+ii+j|=(a+d)(e+f)(i+j)+(b+e)(f+g)(i+j)+(c+f)(g+h)(i+j)
??????????????-a*d*e-f*d*e-g*d*e-a*b*f-b*e*f-c*b*f-a*c*f-b*d*f-c*d*f