2025年线性代数与空间解析几何深度学习测试卷
一、选择题（每题5分，共20分）
1.设向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(4,5,6)$，则向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角余弦值为：
A.$\frac{1}{\sqrt{14}}$
B.$\frac{1}{\sqrt{30}}$
C.$\frac{1}{\sqrt{42}}$
D.$\frac{1}{\sqrt{56}}$
2.设矩阵$A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，则矩阵$A$的行列式值为：
A.2
B.4
C.6
D.8
3.设向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，则向量$\boldsymbol{a}$的模长为：
A.$\sqrt{14}$
B.$\sqrt{15}$
C.$\sqrt{16}$
D.$\sqrt{17}$
4.设矩阵$A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，则矩阵$A$的伴随矩阵为：
A.$\begin{bmatrix}4-2\\-31\end{bmatrix}$
B.$\begin{bmatrix}2-1\\-34\end{bmatrix}$
C.$\begin{bmatrix}-21\\34\end{bmatrix}$
D.$\begin{bmatrix}-12\\3-4\end{bmatrix}$
5.设向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(4,5,6)$，则向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的外积为：
A.$\begin{bmatrix}210\\121\\012\end{bmatrix}$
B.$\begin{bmatrix}210\\121\\012\end{bmatrix}$
C.$\begin{bmatrix}210\\121\\012\end{bmatrix}$
D.$\begin{bmatrix}210\\121\\012\end{bmatrix}$
二、填空题（每题5分，共20分）
1.设向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(4,5,6)$，则向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的点积为______。
2.设矩阵$A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，则矩阵$A$的逆矩阵为______。
3.设向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，则向量$\boldsymbol{a}$的单位向量为______。
4.设矩阵$A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，则矩阵$A$的秩为______。
5.设向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(4,5,6)$，则向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角余弦值为______。
三、解答题（每题20分，共40分）
1.设向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(4,5,6)$，求向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的外积。
2.设矩阵$A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，求矩阵$A$的行列式值。
四、证明题（20分）
证明：设向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$是两个非零向量，且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，证明$\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$。
五、计算题（20分）
计算矩阵$\boldsymbol