2025年线性代数与空间解析几何基础理论测试试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1.设向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，向量$\boldsymbol{b}=(2,1,0)$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$的值为：
A.5
B.7
C.9
D.11
2.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，则$\boldsymbol{A}$的特征值是：
A.0
B.1
C.-1
D.$\pm1$
3.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的矩阵，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，则$\boldsymbol{A}$的行列式$\left|\boldsymbol{A}\right|$的值为：
A.0
B.1
C.-1
D.无法确定
4.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的矩阵，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，则$\boldsymbol{A}$的秩$r(\boldsymbol{A})$为：
A.0
B.1
C.2
D.3
5.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的矩阵，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$，则$\boldsymbol{A}$的特征值是：
A.0
B.1
C.-1
D.$\pm1$
6.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的矩阵，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，则$\boldsymbol{A}$的逆矩阵$\boldsymbol{A}^{-1}$存在的充要条件是：
A.$\boldsymbol{A}$的行列式$\left|\boldsymbol{A}\right|\neq0$
B.$\boldsymbol{A}$的行列式$\left|\boldsymbol{A}\right|=0$
C.$\boldsymbol{A}$的秩$r(\boldsymbol{A})=3$
D.$\boldsymbol{A}$的秩$r(\boldsymbol{A})\leq2$
7.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的矩阵，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，则$\boldsymbol{A}$的伴随矩阵$\boldsymbol{A}^*$的值是：
A.$\boldsymbol{O}$
B.$\boldsymbol{A}$
C.$\boldsymbol{A}^2$
D.$\boldsymbol{A}^3$
8.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的矩阵，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，则$\boldsymbol{A}$的特征值$\lambda$满足：
A.$\lambda^2=0$
B.$\lambda^2=1$
C.$\lambda^2=-1$
D.$\lambda^2=\pm1$
9.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的矩阵，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，则$\boldsymbol{A}$的行列式$\left|\boldsymbol{A}\right|$的值为：
A.0
B.1
C.-1
D.无法确定
10.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的矩阵，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，则$\boldsymbol{A}$的秩$r(\boldsymbol{A})$为：
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题（每题3分，共30分）
1.设$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(2,1,0)$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_