传统文化中的数列建模与创新应用
纵观新高考五年的真题，特别是2024年新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷，我们不难发现新一轮高考改革突出了对数列创新应用的考查，所以日常备考要始终贯穿观察、分析、归纳、递推、概括、猜想、应用等能力的培养．
题型一传统文化中的数列建模
传统文化在数列中一般作为背景考查，发挥育人功能．在解答过程中，要抓住其中特征灵活运用数列知识分析、解决问题．
[典例1]图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3．已知k1，k2，k3成公差为
图1
图2
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
[阅读与思考]如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1．因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以CC1＝DC1(k3－0.2)，BB1＝CB1(k3－0.1)，AA1＝k3BA1，即CC1＝OD1(k3－0.2)，BB1＝OD1(k3－0.1)，AA1＝k3OD1．又DD1OD1＝0.5，所以DD1＝0.5OD1，所以AA2＝0.5OD1＋OD1(k3－0.2)＋OD1(k3－0.1)＋k3OD1＝OD1(3k3＋0.2)，所以tan∠AOA2＝AA2OA2＝OD
反思领悟本例以中国古代建筑中的举架结构为背景，综合应用等差数列、三角函数、解析几何等知识解答．
巩固迁移1(2025·四川攀枝花模拟)“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且AB＝16，则这127个正方形中，最小的正方形的边长为()
A．1 B．2
C．2 D．22
题型二新情境、新定义中的数列问题
对于新信息情境下的数列问题，在读懂题意的前提下，依据题目提供的信息，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
[典例2](2024·烟台二模)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如φ(4)＝2．已知bn＝2nφ3n+1，n∈N*，Tn是数列{bn}的前n项和，若Tn＜M恒成立，则
A．34 B．
C．76 D．
[阅读与思考]因为3为质数，在不超过3n的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为3n-1，
φ(3n)＝3n－3n-1＝2×3n-1(n∈N*)，
所以φ(3n+1)＝3n+1－3n＝2×3n(n∈N*)，
则bn＝2nφ3n+1
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝13+232
13Tn＝132+2
两式相减，可得23Tn＝13+132
＝121-1
所以Tn＝34-1
因为bn＝n3n0，所以Tn在n∈N
所以TnM恒成立，即M≥34
所以M的最小值为34．故选A
反思领悟本例关键是由欧拉函数定义求出bn＝n3n，进而由错位相减法求出Tn，即可求出
巩固迁移2(2024·上饶市广丰区期末)记[x]表示不超过x的最大整数，〈x〉＝x－[x]，如[2.4]＝2，〈2.4〉＝0.4．已知数列{an}的通项公式为an＝13n－2，数列{bn}满足bn＝2[an]－3〈an〉，则b1＋b2＋b3＋…＋b20＝(
A．23 B．22
C．24 D．25