数列中的综合问题
数列的综合问题、递推数列以及数列与其他知识的交汇问题，是历年高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等．
题型一等差数列、等比数列的综合问题
[典例1](2025·连云港模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S10＝65，数列{bn}的前n项和Tn＝2bn－2．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；[切入点：利用bn＝Tn－Tn－1(n≥2)找出bn的递推关系]
[尝试解答]
(2)若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Gn．[关键点：错位相减法求和]
[阅读与思考]由(1)知cn＝(n＋1)2n．
∴Gn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)2n，①→({an}为等差数列，{bn}为等比数列，求和用错位相减法)
∴2Gn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)2n+1，②→(写①②两个表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”)
①－②得－Gn＝2×21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)2n+1
＝2＋21-2n1-2－(n＋1)2n+1＝－n·
∴Gn＝n·2n+1．→(结果整理)
反思领悟(1)在应用错位相减法求和时，一定要抓住数列的特征，所谓“错位”相减，就是找“同类项”相减．项数的位置一定不能出错．另外需要注意，本例中等式①的第1项需要保留，等式②的最后一项也一定不能漏掉，中间错位相减的项有(n－1)项．
(2)数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．
巩固迁移1(2025·无锡模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a3是a1，a13的等比中项，S5＝25．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝－1，bn＋bn＋1＝Sn，求b20．
题型二递推数列
[典例2](2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝an-6，n为奇数2an，n为偶数记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前
(1)求{an}的通项公式；[切入点：结合已知条件中的S4，T3列方程组]
[尝试解答]
(2)证明：当n5时，TnSn．[关键点：分组求和]
[阅读与思考]证明：当n为奇数时，
Tn＝(a1－6)＋2a2＋(a3－6)＋2a4＋…＋(an－6)
＝(a1－6)＋(a3－6)＋…＋(an－6)＋2(a2＋a4＋…＋an－1)
＝(a1＋a2＋…＋an)＋(a2＋a4＋…＋an－1)－6·n
＝Sn＋n-12a2+an-12－3(
＝Sn＋n+4n-12－3(
所以Tn－Sn＝n+4n-12－
＝n
＝n-5
所以当n5时，Tn－Sn0，即TnSn．
当n为偶数时，
Tn＝(a1－6)＋2a2＋(a3－6)＋2a4＋…＋(an－1－6)＋2an
＝(a1＋a2＋…＋an)＋(a2＋a4＋…＋an)－6·n
＝Sn＋n+5n2
＝Sn＋n2-n2，→(
所以Tn－Sn＝nn-12，所以当n5时，Tn－S
即TnSn．
综上所述，当n5时，TnSn成立．
反思领悟本例给出的递推数列属于数列奇偶项问题，解决此类问题的关键在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差或公比等，特别要注意分类讨论思想在解题中的灵活运用