双曲线知识点
一、双曲线的定义
1.平面内与两个定点\(F_1,F_2\)的距离之差的绝对值等于常数（小于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做双曲线。
-设\(F_1,F_2\)为双曲线的两个焦点，\(|F_1F_2|=2c\)，常数为\(2a(02a2c)\)。
-当\(|PF_1|-|PF_2|=2a\)时，点\(P\)的轨迹为双曲线的右支；当\(|PF_2|-|PF_1|=2a\)时，点\(P\)的轨迹为双曲线的左支。
二、双曲线的标准方程
1.焦点在\(x\)轴上的双曲线标准方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a0,b0)\)。
-其中\(c^2=a^2+b^2\)，焦点坐标为\((\pmc,0)\)。
2.焦点在\(y\)轴上的双曲线标准方程为\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a0,b0)\)。
-此时\(c^2=a^2+b^2\)，焦点坐标为\((0,\pmc)\)。
三、双曲线的性质
1.范围
-对于\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)，\(x\geqslanta\)或\(x\leqslant-a\)；\(y\inR\)。
-对于\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)，\(y\geqslanta\)或\(y\leqslant-a\)；\(x\inR\)。
2.对称性
-双曲线关于\(x\)轴、\(y\)轴和原点对称。
3.顶点
-焦点在\(x\)轴上的双曲线顶点坐标为\((\pma,0)\)。
-焦点在\(y\)轴上的双曲线顶点坐标为\((0,\pma)\)。
4.渐近线
-焦点在\(x\)轴上的双曲线渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。
-焦点在\(y\)轴上的双曲线渐近线方程为\(y=\pm\frac{a}{b}x\)。
5.离心率
-双曲线的离心率\(e=\frac{c}{a}(e1)\)。
-离心率\(e\)越大，双曲线开口越开阔。
四、双曲线的准线
1.对于双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)，准线方程为\(x=\pm\frac{a^{2}}{c}\)。
2.对于双曲线\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)，准线方程为\(y=\pm\frac{a^{2}}{c}\)。
五、等轴双曲线
1.当\(a=b\)时，双曲线称为等轴双曲线。
-等轴双曲线的方程为\(x^{2}-y^{2}=\pma^{2}\)。
-等轴双曲线的离心率\(e=\sqrt{2}\)，渐近线方程为\(y=\pmx\)。
六、共轭双曲线
1.以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。
-双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)的共轭双曲线为\(\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1\)。
-它们有共同的渐近线\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，且离心率\(e_1,e_2\)满足\(\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}=1\)。