第1页，共12页，星期日，2025年，2月5日第五章能量原理及其变分法对于空间应力状态的单位体积的应变能可写成将广义虎克定律代入上式，得展开为其中如果用应力表示应变的广义虎克定律，则应变能可写成第2页，共12页，星期日，2025年，2月5日第五章能量原理及其变分法一般情况下，弹性体受力并不均匀，各个应力分量和应变分量一般都是位置坐标的函数，因而应变能一般也是位置坐标的函数。为了得出整个弹性体的应变能U，必须把比能U0在整个弹性体内进行积分，即第3页，共12页，星期日，2025年，2月5日第五章能量原理及其变分法§4-2虚功原理虚位移是结构所允许的任意的微小的假想位移，在发生虚位移过程中真实力所作的功，称为虚功。“如果变形体处于平衡状态，则给以任意微小虚位移，外力所作的总虚功必等于变形体所‘接受’的总虚变形功——变形体的虚功原理为了简化变形体虚功原理的证明，以平面应力问题为例来说明。假设单位厚度的变形体在给定的外力（体积力X、Y和表面力）和给定的约束条件下处于平衡状态，用?x、?y和?xy表示应力分量。这些应力分量满足下列平衡条件：第4页，共12页，星期日，2025年，2月5日第五章能量原理及其变分法在整个变形体内，各微元体满足在变形体边界处，各微元体满足其中，l、m表示边界处的外法线的方向余弦。给变形体以微小虚位移?u、?v，各微元体将有虚应变第5页，共12页，星期日，2025年，2月5日第五章能量原理及其变分法首先，分析变形体内部的微元体由正应力?x所作的虚功。其中为微元体的体积。同样，?xy所作的虚功为体积力所作的虚功为同样地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体内微元体上所有力所作的虚功之和为第6页，共12页，星期日，2025年，2月5日第五章能量原理及其变分法其次，分析边界处的微元体，以ds表示斜边的长度，则直角边的面积分别为微元体的体积为设斜边中点处的虚位移为?u、?v，应力分量为?x、?y和?xy，直角边dy上正应力?x所作的虚功为直角边dx上剪应力?xy所作的虚功为斜边上表面力所作的虚功为第7页，共12页，星期日，2025年，2月5日第五章能量原理及其变分法体积力所作的虚功为同样地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体边界处微元体上所有力所作的虚功之和为变形体的总虚功为W总第8页，共12页，星期日，2025年，2月5日第五章能量原理及其变分法由于已经假设变形体在外力与约束条件下处于平衡状态，所以总虚功所有微元体上的力所作的总虚功，可以写成其中总虚功表达式写成最后，得出W总W总=W外+W面W外W面＝0W总＝W外第9页，共12页，星期日，2025年，2月5日