2025年线性代数（行列式与矩阵）高考模拟试题集及解析
一、选择题
要求：从下列各题的四个选项中，选择一个正确的答案。
1.设矩阵A＝$$\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$$，则矩阵A的行列式值为：
A.5
B.-5
C.7
D.-7
2.设矩阵B＝$$\begin{bmatrix}21\\-32\end{bmatrix}$$，则矩阵B的逆矩阵为：
A.$$\begin{bmatrix}2-1\\32\end{bmatrix}$$
B.$$\begin{bmatrix}21\\-32\end{bmatrix}$$
C.$$\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$$
D.$$\begin{bmatrix}1-2\\3-4\end{bmatrix}$$
二、填空题
要求：将正确答案填入空格中。
3.设矩阵A＝$$\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$$，则|A|＝__________。
4.设矩阵B＝$$\begin{bmatrix}21\\-32\end{bmatrix}$$，则B的逆矩阵为__________。
三、解答题
要求：解答下列各题。
5.已知矩阵A＝$$\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$$，求矩阵A的行列式值。
6.已知矩阵B＝$$\begin{bmatrix}21\\-32\end{bmatrix}$$，求矩阵B的逆矩阵。
四、证明题
要求：证明下列等式成立。
7.证明：对于任意二阶矩阵A＝$$\begin{bmatrix}ab\\cd\end{bmatrix}$$，有|A|＝ad－bc。
五、计算题
要求：计算下列矩阵的行列式值。
8.计算矩阵A＝$$\begin{bmatrix}235\\467\\123\end{bmatrix}$$的行列式值。
9.计算矩阵B＝$$\begin{bmatrix}100\\010\\001\end{bmatrix}$$的行列式值。
六、应用题
要求：应用行列式的性质解决实际问题。
10.一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式为Δ＝b2－4ac。已知方程的根为x?和x?，证明：x?x?＝c/a。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.答案：A
解析思路：行列式的计算可以通过拉普拉斯展开或行列式的定义进行。对于矩阵A，行列式的值为1×4-2×3=4-6=-2。
2.答案：D
解析思路：求逆矩阵的方法之一是使用伴随矩阵。对于矩阵B，首先计算其行列式，得到|B|=2×2-1×(-3)=4+3=7。然后计算伴随矩阵，即将B的每个元素替换为其代数余子式，转置后得到B的逆矩阵。计算得到$$\begin{bmatrix}1-2\\3-4\end{bmatrix}$$。
二、填空题
3.答案：-2
解析思路：计算矩阵A的行列式，使用拉普拉斯展开或行列式的定义。对于矩阵A，行列式的值为1×4-2×3=4-6=-2。
4.答案：$$\begin{bmatrix}1-2\\3-4\end{bmatrix}$$
解析思路：同第二题解析思路，计算矩阵B的逆矩阵。计算得到$$\begin{bmatrix}1-2\\3-4\end{bmatrix}$$。
三、解答题
5.答案：-2
解析思路：计算矩阵A的行列式，使用拉普拉斯展开或行列式的定义。对于矩阵A，行列式的值为1×4-2×3=4-6=-2。
6.答案：$$\begin{bmatrix}1-2\\3-4\end{bmatrix}$$
解析思路：同第二题解析思路，计算矩阵B的逆矩阵。计算得到$$\begin{bmatrix}1-2\\3-4\end{bmatrix}$$。
四、证明题
7.答案：证明见下文
解析思路：使用行列式的定义和拉普拉斯展开进行证明。
证明：
对于二阶矩阵A＝$$\begin{bmatrix}ab\\cd\end{bmatrix}$$，根据行列式的定义，有：
|A|=ad-bc
使用拉普拉斯展开，我们可以将|A|展开为：
|A|=a*|d|-b*|c|
由于d和c是1×1矩阵，其行列式值等于自身，即|d|=d，|c|=c，所以：
|A|=ad-bc
这就证明了对于任意二阶矩阵A，有