2025年线性代数（行列式与矩阵）期中考试试卷——行列式与矩阵理论深度解析
一、选择题（每题5分，共20分）
1.设四元二次方程组
\[
\begin{cases}
x_1^2+2x_2^2+x_3^2+2x_4^2=1\\
2x_1x_2+x_3x_4=0
\end{cases}
\]
的系数矩阵为\(A\)，则下列各式中，\(A\)的秩为______。
A.1B.2C.3D.4
2.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(A\)的伴随矩阵记为\(A^*\)，则\(|A^*|\)等于______。
A.\(|A|^{n-1}\)B.\(|A|^{n}\)C.\((|A|)^n\)D.\(|A|^{n+1}\)
3.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(B\)为\(n\)阶可逆矩阵，则下列矩阵的行列式值为______。
A.\(|A|\)B.\(|A^{-1}|\)C.\(|B^{-1}A|\)D.\(|B|A|\)
4.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)的行列式值为0，则下列结论中正确的是______。
A.\(A\)必为奇异矩阵B.\(A\)的秩为0C.\(A\)的列向量线性相关D.\(A\)的行向量线性相关
5.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(A^2=O\)，则下列结论中正确的是______。
A.\(A\)必为奇异矩阵B.\(A\)的秩为0C.\(A\)的列向量线性相关D.\(A\)的行向量线性相关
二、填空题（每题5分，共20分）
1.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)的秩为\(n\)，则\(|A|\)等于______。
2.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)的行列式值为0，则\(A\)的秩为______。
3.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)的秩为\(n-1\)，则\(A\)的伴随矩阵的行列式值为______。
4.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)的行列式值为1，则\(A\)的逆矩阵的行列式值为______。
5.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)的秩为\(n\)，则\(A\)的伴随矩阵的秩为______。
三、计算题（每题20分，共60分）
1.计算下列矩阵的行列式值：
\[
\begin{bmatrix}
123\\
456\\
789
\end{bmatrix}
\]
2.计算下列矩阵的行列式值：
\[
\begin{bmatrix}
21-1\\
3-12\\
421
\end{bmatrix}
\]
3.计算下列矩阵的行列式值：
\[
\begin{bmatrix}
1111\\
2111\\
3111\\
4111
\end{bmatrix}
\]
四、证明题（每题20分，共40分）
1.证明：如果\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)的秩为\(n\)，那么\(A\)的逆矩阵存在。
2.证明：如果\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)的行列式值为0，那么\(A\)的列向量线性相关。
五、计算题（每题20分，共40分）
1.计算下列矩阵的逆矩阵：
\[
\begin{bmatrix}
123\\
014\\
567
\end{bmatrix}
\]
2.计算下列矩阵的逆矩阵：
\[
\begin{bmatrix}
4-12\\
3-25\\
10-1
\end{bmatrix}
\]
六、应用题（每题20分，共40分）
1.设线性方程组
\[
\begin{cases}
x_1-x_2+2x_3=4\\
2x_1+x_2-2x_3=2\\
-x_1+2x_2+x_3=1
\end{cases}
\]
的系数矩阵为\(A\)，求解\(A\)的行列式值和逆矩阵（如果存在）。
2.设线性方程组
\[
\begin{cases}
3x_1+2x_2-x_3=8\\
2x_1+x_2-x_3=5\\
-x_1+