2025年线性代数（行列式与矩阵）大学选修课期末测试题库
一、行列式计算
要求：计算下列行列式的值。
1.计算3×3行列式
\[
\begin{vmatrix}
a_{11}a_{12}a_{13}\\
a_{21}a_{22}a_{23}\\
a_{31}a_{32}a_{33}
\end{vmatrix}
\]
2.计算4×4行列式
\[
\begin{vmatrix}
b_{11}b_{12}b_{13}b_{14}\\
b_{21}b_{22}b_{23}b_{24}\\
b_{31}b_{32}b_{33}b_{34}\\
b_{41}b_{42}b_{43}b_{44}
\end{vmatrix}
\]
二、矩阵的运算
要求：计算下列矩阵的乘积。
1.计算两个3×3矩阵的乘积
\[
\begin{bmatrix}
c_{11}c_{12}c_{13}\\
c_{21}c_{22}c_{23}\\
c_{31}c_{32}c_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
d_{11}d_{12}d_{13}\\
d_{21}d_{22}d_{23}\\
d_{31}d_{32}d_{33}
\end{bmatrix}
\]
2.计算两个2×3矩阵的乘积
\[
\begin{bmatrix}
e_{11}e_{12}\\
e_{21}e_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
f_{11}f_{12}f_{13}\\
f_{21}f_{22}f_{23}
\end{bmatrix}
\]
三、逆矩阵的求解
要求：求解下列矩阵的逆矩阵。
1.求一个3×3矩阵的逆矩阵
\[
\begin{bmatrix}
g_{11}g_{12}g_{13}\\
g_{21}g_{22}g_{23}\\
g_{31}g_{32}g_{33}
\end{bmatrix}
\]
2.求一个2×2矩阵的逆矩阵
\[
\begin{bmatrix}
h_{11}h_{12}\\
h_{21}h_{22}
\end{bmatrix}
\]
四、矩阵的秩与线性方程组
要求：判断下列矩阵的秩，并说明理由。
1.判断矩阵的秩
\[
\begin{bmatrix}
123\\
456\\
789
\end{bmatrix}
\]
2.判断矩阵的秩
\[
\begin{bmatrix}
100\\
010\\
001
\end{bmatrix}
\]
3.判断矩阵的秩
\[
\begin{bmatrix}
123\\
246\\
369
\end{bmatrix}
\]
五、特征值与特征向量
要求：求下列矩阵的特征值和对应的特征向量。
1.求矩阵的特征值和特征向量
\[
\begin{bmatrix}
10-1\\
-110
\end{bmatrix}
\]
2.求矩阵的特征值和特征向量
\[
\begin{bmatrix}
210\\
021\\
102
\end{bmatrix}
\]
3.求矩阵的特征值和特征向量
\[
\begin{bmatrix}
010\\
001\\
100
\end{bmatrix}
\]
六、二次型与正定矩阵
要求：判断下列二次型的正定性，并给出理由。
1.判断二次型的正定性
\[
x^2+4xy+4y^2
\]
2.判断二次型的正定性
\[
x^2-2xy+y^2
\]
3.判断二次型的正定性
\[
2x^2+4xy+2y^2
\]
本次试卷答案如下：
一、行列式计算
1.计算3×3行列式的值：
\[
\begin{vmatrix}
a_{11}a_{12}a_{13}\\
a_{21}a_{22}a_{23}\\
a_{31}a_{32}a_{33}
\end{vmatrix}
\]
解析思路：使用三阶行列式的展开公式，按第一行展开，得到：
\[
a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})
\]
2.计算4×4行列式的值：
\[
\begin{vmatrix}