第2节函数的单调性与最值
【课标要求】（1）借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义；（2）掌握函数单调性的简单应用.
知识点一函数的单调性
1.单调性的定义
定
义
要求
x1，x2
一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I?D，如果x1，x2∈I，当x1＜x2时
要求
f（x1）与
f（x2）
都有
都有
结论
函数f（x）在区间I上；若函数f（x）在定义域D上单调递增，则f（x）为增函数
函数f（x）在区间I上；若函数f（x）在定义域D上单调递减，则f（x）为减函数
图象描述
自左向右看图象是
自左向右看图象是
2.单调区间的定义
如果函数y＝f（x）在区间I上或，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，叫做y＝f（x）的单调区间.
结论（1）若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：①在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数；②若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反；③函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝1f（
（2）复合函数的单调性满足同增异减.
（1）〔多选〕（北师必修一P65习题A5题改编）下列函数在（0，＋∞）上单调递增的是（）
A.y＝ex－e－x B.y＝｜x2－2x｜
C.y＝2x＋2cosx D.y＝x
（2）（人A必修一P78例1改编）试讨论函数f（x）＝axx－1（a≠0）在（－1，1
规律方法
1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.函数单调性的判断方法
（1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；（4）导数法.
提醒函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不能用“∪”.
练1（1）函数f（x）＝（x－4）·｜x｜的单调递增区间是（）
A.（－∞，0）
B.（－∞，0）∪（2，＋∞）
C.（－∞，0）和（2，＋∞）
D.（2，＋∞）
（2）函数y＝log12（x2－2x＋3）的单调递增区间为（
A.（－∞，1） B.（－1，0）
C.（－1，1） D.（1，＋∞）
知识点二函数的最值（值域）
前提
设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足
条件
①?x∈D，都有；
②?x0∈D，使得
①?x∈D，都有；
②?x0∈D，使得
结论
M是函数y＝f（x）的最大值
M是函数y＝f（x）的最小值
（1）（人A必修一P81例5改编）函数g（x）＝2x－1x在区间［12，2］
A.－1 B.0
C.－2 D.3
（2）已知x＞1，则f（x）＝x－1x
听课记录
规律方法
求函数最值（值域）的常用方法
（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
（2）数形结合法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
（3）配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题；
（4）换元法：引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”；
（5）分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.
练2（1）已知函数f（x）＝2x＋（a－2）x－1（a＞0）在区间[2，
A.2 B.3
C.15 D.3或15
（2）对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，a＞b.设函数f（x）＝－x＋3，g（x）＝log2x，则函数h（x）＝min{
提能点
函数单调性的应用
角度1比较函数值的大小
（1）（2025·锦州联考）若f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0，＋∞）且x1≠x2，有f（x2)-f（x
A.f（3）＜f（1）＜f（－2）
B.f（3）＜f（－2）＜f（1）
C.f（－2）＜f（1）＜f（3）
D.f（1）＜f（－2）＜f（3）
（2）若a＝ln3，b＝lg5，c＝log126，则（）
A.a＞b＞c B.b＞c＞a
C.c＞b＞a D.a＞c＞b
听课记录
规律方法
利用单调性比较函数值大小的方法
（1）若题目条件中有具体函数，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用插值法比较大小；
（